【数学】2020届一轮复习通用版（文）11-3不等式选讲作业 3页

课下层级训练(六十一) 不等式选讲 [A 级 基础强化训练] 1．设 a＞0，|x－1|＜a 3 ，|y－2|＜a 3 ， 求证：|2x＋y－4|＜a． 证明 因为|x－1|＜a 3 ，|y－2|＜a 3 ， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)| ≤2|x－1|＋|y－2|＜2×a 3 ＋a 3 ＝a． 2. (2019·贵州遵义质检)设函数 f(x)＝|x－a|＋x． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的值域； (2)若 g(x)＝|x＋1|，求不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立时 a 的取值范围． 解 (1)由题意得，当 a＝2 时，f(x)＝ 2x－2，x≥2， 2，x<2. ∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的值域为[2，＋∞)． (2)由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒成立， 有|x＋1|＋|x－a|>2 恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2． 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|， ∴|1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3． 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a． (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围． 解 (1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2． 解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3． 因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当 x∈R 时， f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a． 所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.① 当 a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a＞1 时，①等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2． 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)． [B 级 能力提升训练] 4．(2018·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|． (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围． 解 (1)当 a＝1 时，f(x)＝ 2x＋4，x≤－1， 2，－12. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4． 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立． 故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4． 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2． 所以 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 5．已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0． (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围． 解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0． 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 当－10，解得2 30，解得 1≤x<2． 所以 f(x)>1 的解集为{x|2 3a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(2a－1 3 ， 0)， B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC 的面积为2 3(a＋1)2． 由题设得2 3(a＋1)2>6，故 a>2． 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)． 6．(2018·湖南常德模拟)已知函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－1|． (1)求不等式 f(x)<2 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤a－a2 2 有解，求 a 的取值范围． 解 (1)当 x>1 时，f(x)＝2x＋1－(x－1)＝x＋2， 因为 f(x)<2， 所以 x<0，此时无解； 当－1 2 ≤x≤1 时，f(x)＝2x＋1－(1－x)＝3x， 因为 f(x)<2，所以 x<2 3 ，此时－1 2 ≤x<2 3 ； 当 x<－1 2 时，f(x)＝－2x－1－(1－x)＝－x－2， 因为 f(x)<2， 所以 x>－4，此时－41. 当 x<－1 2 时，f(x)>－3 2 ； 当－1 2 ≤x≤1 时，－3 2 ≤f(x)≤3； 当 x>1 时，f(x)>3.所以 f(x)min＝－3 2 ， 故－3 2 ≤a－a2 2 ⇒a2－2a－3≤0⇒－1≤a≤3．