【数学】2020届一轮复习人教A版第16课函数与方程作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(16)‎ ‎ 1. 若函数f(x)＝lnx－的零点所在区间大致为(k，k＋1)(k∈Z)，则k＝__2__．‎ 解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝＋>0恒成立，所以f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．因为f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点在区间(2，3)上，所以k＝2.‎ ‎ 2. 若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是__④__．‎ ‎①若f(a)·f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；‎ ‎②若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；‎ ‎③若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；‎ ‎④若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0.‎ 解析：由零点存在性定理可知①错误；对于②，举反例：f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间(－2，2)上满足f(－2)·f(2)<0，但其存在三个零点：－1，0，1，故②错误；对于③，举反例：f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间(－2，2)上满足f(－2)·f(2)>0，但其存在两个零点：－1，1，故③错误；④由零点存在性定理可知④正确．‎ ‎ 3. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)上的零点个数是__1__．‎ 解析：因为f(x)＝2x＋x3－2，所以f′(x)＝2xln 2＋3x2>0在区间(0，1)上恒成立，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)上单调递增．因为f(0)＝－1<0且f(1)＝1>0，所以f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)上有唯一的零点．‎ ‎ 4. 已知关于x的方程x2－(2m－8)x＋m2－16＝0的两个实数根x1，x2满足x1<0，x1x2＝<0，所以此方程有一个正根和一个负根，故充分性成立；若ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，当a＝0时，该方程仅有一根为x＝－，所以a不一定小于0，故必要性不成立，所以“a<0”是“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根”的充分不必要条件．‎ ‎ 6. 已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零点个数为__3__．‎ 解析：当x－1>0，即x>1时，函数f(x)＝1－ln x，令1－ln x＝0，得x＝e.此时f(x)的零点是e；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0，此时f(x)的零点是1；当x－1<0，即x<1时，f(x)＝－1－ln x，令－1－ln x＝0，得x＝，此时f(x)的零点是.综上可知，f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零点有3个．‎ ‎ 7. 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：‎ f(1.600 0)≈0.200‎ f(1.587 5)≈0.133‎ f(1.575 0)≈0.067‎ f(1.562 5)≈0.003‎ f(1.556 2)≈－0.029‎ f(1.550 0)≈－0.060‎ 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为__1.56__．‎ 解析：由表可知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，所以函数f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.562 5，1.556 2)上，故函数零点的近似值为1.56.‎ ‎ 8. 若函数f(x)＝－kx2有4个零点，则实数k的取值范围为__(－∞，－4)__．‎ 解析：令f(x)＝0，则方程＝kx2有4个不同的解，显然x＝0是方程的一个实数根．当x≠0时，方程可化为＝|x|(x－1)．设h(x)＝，g(x)＝|x|(x－1)，‎ 由题意可知函数h(x)与g(x)图象有三个不同的交点．作出函数g(x)＝的图象，由图象可知－<<0，所以k<－4.‎ ‎ 9. 已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为__a0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)．因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2.因为h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，所以h(x)的零点c∈.又因为f(x)，g(x)，h(x)均是定义域上的单调增函数，所以a0，所以00，所以10，所以函数f(x)＝ex＋x－2在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(a)0)，则t2＋mt＋1＝0.‎ 当Δ＝0时，m2－4＝0，解得m＝±2，‎ 所以当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1(舍去)，‎ 所以2x＝1，即x＝0，符合题意；‎ 当Δ>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两个正根或两个负根，‎ 即函数f(x)有两个零点或没有零点，不符合题意．‎ 综上所述，当m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.‎ ‎13. 设a为常数，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数根的个数．‎ 解析：原方程等价于 即 构造函数y＝－x2＋5x－3(1时，原方程无解．‎