【数学】2020届一轮复习苏教版三角函数作业 6页

‎(四) 三角函数 A组——大题保分练 ‎1．(2018·南通模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α∈，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α－β)的值．‎ 解：(1)∵α∈，∴2α∈.‎ ‎∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ ‎∴sin 2α＝＝.‎ ‎(2)∵α∈，β∈，‎ ‎∴α＋β∈(0，π)，又cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝，‎ ‎∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎2．设函数f(x)＝6cos2x－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cos A＝，求a和sin C的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝6×－sin 2x ‎＝3cos 2x－sin 2x＋3‎ ‎＝2cos＋3，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，‎ f(x)的值域为[3－2，3＋2 ]．‎ ‎(2)由f(B)＝0，得cos＝－.‎ 因为B为锐角，所以<2B＋<，所以2B＋＝，所以B＝.‎ 因为cos A＝，A∈(0，π)，‎ 所以sin A＝ ＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝.‎ sin C＝sin(π－A－B)＝sin ‎＝cos A＋sin A＝.‎ ‎3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f＝－，且＜α＜，求cos α的值．‎ 解： (1)由题意知，＝－＝，所以T＝π.‎ 又T＝，所以ω＝2，‎ 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．‎ 因为点在函数图象上，‎ 所以2sin＝2，即sin＝1.‎ 因为－＜φ＜，即－<＋φ<，‎ 所以φ＝，所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2) 由f＝－，得sin＝－.‎ 因为＜α＜，所以π＜α＋＜，‎ 所以cos＝－＝－.‎ 所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，若角α，β的顶点都为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角α的终边经过点P，角β的终边经过点Q(sin2θ，－1)，且·＝－.‎ ‎(1)求cos 2θ的值；‎ ‎(2)求tan(α＋β)的值．‎ 解：(1)由·＝－，‎ 得sin2θ－cos2θ＝－，‎ ‎∴sin2θ＝2cos2θ－1，‎ 即＝cos 2θ，‎ 解得cos 2θ＝.‎ ‎(2)由(1)，知sin2θ＝＝，则cos2θ＝，‎ 得P，Q，‎ ‎∴tan α＝，tan β＝－3，‎ 故tan(α＋β)＝＝＝－.‎ B组——大题增分练 ‎1．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)cos·cos ‎＝cos·sin＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ ‎∵α∈，∴2α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin ‎＝sincos－cossin＝.‎ ‎(2)∵α∈，∴2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.‎ ‎∴tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎ ‎2．已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．‎ 解：(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.‎ ‎∴cos2x－sin 2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝ sin＋.‎ 由正弦定理，得＝，可得sin A＝，‎ ‎∴A＝.∴f(x)＋4cos＝sin2x＋－.‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴2x＋∈.‎ ‎∴－1≤f(x)＋4cos≤－.‎ ‎∴f(x)＋4cos的取值范围为.‎ ‎3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝f(x)＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．‎ 解：(1)由图可得A＝3，f(x)的周期为8，则＝8，即ω＝.‎ f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，所以sin＝1，‎ 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，故φ＝.‎ 综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋f(x＋2)‎ ‎＝3sin＋3sin ‎＝3sin＋3cos ‎＝6 ‎＝6sin.‎ 当x∈[－1,3]时，x＋∈.‎ 故当x＋＝，即x＝－时，sin取得最大值1，则g(x)的最大值为g＝6；‎ 当x＋＝，即x＝3时，sin取得最小值－，则g(x)的最小值为g(3)＝6×＝－3.‎ ‎4.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．‎ ‎(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；‎ ‎(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．‎ 解：(1)因为点C的坐标为，‎ 根据三角函数的定义，‎ 得sin∠COA＝，cos∠COA＝.‎ 因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.‎ 所以cos∠BOC＝cos ‎＝cos∠COAcos－sin∠COAsin ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)因为∠AOC＝θ，‎ 所以∠BOC＝＋θ.‎ 在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.‎ 因为0<θ<，‎ 所以<θ＋<.‎ 所以－