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- 2021-06-16 发布
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课时作业44 两条直线的位置关系与距离公式
[基础达标]
一、选择题
1.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值是( )
A.-3 B.2
C.-3或2 D.3或-2
解析:由直线l1与l2平行,可得解得a=-3.
答案:A
2.直线l过(m,n),(n,m)两点,其中m≠n,mn≠0,则( )
A.l与x轴垂直
B.l与y轴垂直
C.l过原点和第一、三象限
D.l的倾斜角为135°
解析:直线的斜率k==-1,
∴直线l的倾斜角为135°.
答案:D
3.经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则m的值是( )
A.4 B.1
C.1或3 D.1或4
解析:由题意,知=1,解得m=1.
答案:B
4.[2019·宁夏银川模拟]若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为( )
A. B.
C. D.
解析:由l1∥l2得(a-2)a=1×3,且a×2a≠3×6,解得a=-1,
∴l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,
∴l1与l2间的距离d==,
故选B.
答案:B
5.若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a的值为( )
A.1 B.3
C.0或1 D.1或3
解析:∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,
即×=-1,解得a=1或a=3.
答案:D
6.方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线( )
A.恒过定点(-2,3)
B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(-2,3)和点(2,3)
D.都是平行直线
解析:(a-1)x-y+2a+1=0可化为-x-y+1+a(x+2)=0,
由得
答案:A
7.已知点P(-1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x-y+1=0 B.x-y=0
C.x+y-4=0 D.x+y=0
解析:线段PQ的中点坐标为(1,3),直线PQ的斜率kPQ=1,
∴直线l的斜率kl=-1,∴直线l的方程为x+y-4=0.
答案:C
8.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为( )
A.(3,0) B.(-3,0)
C.(0,-3) D.(0,3)
解析:因为l1∥l2,且l1的斜率为2,
所以l2的斜率为2.
又l2过点(-1,1),
所以l2的方程为y-1=2(x+1),
整理即得:y=2x+3,
令x=0,得y=3,
所以P点坐标为(0,3).
答案:D
9.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为,则直线l的方程是( )
A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0
C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0
解析:由得交点坐标为(2,2),
当直线l的斜率不存在时,易知不满足题意.
∴直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,
∵点(5,1)到直线l的距离为,
∴=,解得k=3.
∴直线l的方程为3x-y-4=0.
答案:C
10.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
解析:因为直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,
所以=1,所以a=0,
又直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,所以-=1,所以b=-2,因此a+b=-2.
答案:B
二、填空题
11.[2019·宁夏模拟]经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是____________________.
解析:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.
答案:4x+y-14=0
12.平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程为____________________.
解析:设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠-2),则d==1,
∴c=3或c=-7,
即所求直线方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.
答案:3x+4y+3=0或3x+4y-7=0
13.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是________.
解析:设Q(x0,y0),因为点Q在直线x-y+1=0上,所以x0-y0+1=0 ①.
又直线x+2y-5=0的斜率k=-,直线PQ的斜率kPQ=,
所以由直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,
得·=-1 ②.
由①②解得x0=2,y0=3,即点Q的坐标是(2,3).
答案:(2,3)
14.直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,则C的值为________.
解析:因为两直线的交点在y轴上,所以点在第一条直线上,所以C=-4.
答案:-4
[能力挑战]
15.设直线l经过点A(-1,1),则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时,直线l的方程为____________.
解析:设点B(2,-1)到直线l的距离为d,
当d=|AB|时取得最大值,
此时直线l垂直于直线AB,kl=-=,
∴直线l的方程为y-1=(x+1),即3x-2y+5=0.
答案:3x-2y+5=0
16.一条光线从点A(2,3)出发,经y轴反射后,通过点B(4,-1),求入射光线和反射光线所在的直线方程__________________.
解析:点A(2,3)关于y轴的对称点为A′(-2,3),点B(4,-1)关于y轴的对称点为B′(-4,-1).
则入射光线所在直线的方程为AB′:=,
即2x-3y+5=0.
反射光线所在直线的方程为A′B:=,
即2x+3y-5=0.
答案:2x-3y+5=0,2x+3y-5=0
17.直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b=________.
解析:解法一 由题知,点A不在直线x+2y-3=0上,
所以两直线平行,
所以-=-,所以a=2.
又点A到两直线距离相等,
所以=,
所以|b+2|=4,所以b=-6或b=2.
因为点A不在直线x+2y-3=0上,
所以两直线不能重合,所以b=2.
解法二 在直线x+2y-3=0上取两点P1(1,1)、P2(3,0),则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax+4y+b=0上.
因为易知P′1(1,-1)、P′2(-1,0),
所以
所以b=2.
答案:2