【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第3章第7讲解三角形的综合应用作业 9页

对应学生用书[练案27理][练案26文]‎ 第七讲　解三角形的综合应用 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　D　)‎ A．北偏东10°　 B．北偏西10°‎ C．南偏东80°　 D．南偏西80°‎ ‎[解析]　由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，CA＝CB，所以∠CAB＝∠CBA＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°，故灯塔A在B的南偏西80°.‎ ‎2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　D　)‎ A．①②　 B．②③‎ C．①③　 D．①②③‎ ‎[解析]　由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．‎ ‎3．如果D，C，B在地平面同一直线上，DC＝‎10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　D　)‎ A．‎10 m　 B．‎5 m C．5(－1)m　 D．5(＋1)m ‎[解析]　－＝10，解得AB＝5(＋1)．故选D．‎ ‎4．(2019·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　A　)‎ A．‎50 m　 B．‎50 ‎ m C．‎25 m　 D． m ‎[解析]　由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50 (m)．故选A．‎ ‎5．(2019·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　D　)‎ A．10 n mile　 B． n mile C．5 n mile　 D．5 n mile ‎[解析]　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝5.故选D．‎ ‎6．(2019·深圳模拟)一架直升飞机在‎200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为(　A　)‎ A． m　 B． m C． m　 D． m ‎[解析]　如图所示．‎ 在Rt△ACD中可得CD＝＝BE，‎ 在△ABE中，由正弦定理得＝⇒AB＝，所以DE＝BC＝200－＝(m)．‎ ‎7．(2020·云南红河州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝　(　D　)‎ A．5　 B．15 C．5　 D．15 ‎[解析]　在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.故选D．‎ ‎8．(2019·河北保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8 n mile，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(　B　)‎ A．20 n mile　 B．8 n mile C．23 n mile　 D．24 n mile ‎[解析]　在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，‎ 可得AD＝＝＝24 n mile.‎ 在△ACD中，AD＝24 n mile，AC＝8 n mile，‎ ‎∠CAD＝30°，‎ CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos ∠CAD ‎＝242＋(8)2－2×24×8×cos 30°‎ ‎＝(8)2，‎ ‎∴CD＝8，故选B．‎ 二、填空题 ‎9．(2019·佛山模拟)在相距‎2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为　千米．‎ ‎[解析]　∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，‎ 由正弦定理得＝＝，‎ AC＝千米．‎ ‎10．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为‎300米和‎500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为‎700 米．‎ ‎[解析]　由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，∴AB＝700.‎ ‎11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为　.‎ ‎[解析]　由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝⇒sin ∠ACB＝·sin ∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos ∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos (∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos ∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝.‎ ‎12．(2020·山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 ‎000 m，速度为1 ‎000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为6 ‎340 m.(取＝1.732)‎ ‎[解析]　∵108 s＝0.03 h，∴AB＝1 000×0.03＝‎30 km，‎ ‎∵∠C＝75°－15°＝60°，∴＝，‎ ‎∴BC＝，∴C到AB边的距离为h＝BCsin 75°＝20sin 15°sin 75°＝10sin 30°＝5＝5×1.732＝‎8.66 km，‎ ‎∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6 ‎340 m.‎ 三、解答题 ‎13．已知函数f(x)＝1＋2sin cos －2cos2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)求f(A)的取值范围；‎ ‎(2)若A为锐角且f(A)＝，2sin A＝sin B＋sin C，△ABC的面积为，求b的值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sin x－cos x＝2sin (x－)，‎ ‎∴f(A)＝2sin (A－)，‎ 由题意知，0