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- 2021-06-16 发布
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[基础达标]
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cos C=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选B.由题意得,b2=ac=2a2,b=a,所以cos C===-,故选B.
2.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若3bcos C=c(1-3cos B),则sin C∶sin A=( )
A.2∶3 B.4∶3
C.3∶1 D.3∶2
解析:选C.由正弦定理得3sin Bcos C=sin C-3sin Ccos B,3sin(B+C)=sinC,因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以3sin A=sin C,所以sin C∶sin A=3∶1,选C.
3.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值为( )
A.6 B.3
C.2 D.2或3
解析:选D.因为S△ABC=2=bcsin A,
所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.
4.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsin A-acos B=0,且b2=ac,则的值为( )
A. B.
C.2 D.4
解析:选C.在△ABC中,由bsin A-acos B=0,
利用正弦定理得sin Bsin A-sin Acos B=0,
所以tan B=,故B=.
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,
即b2=(a+c)2-3ac,
又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得=2.
5.(2019·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动,设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ,当点P不与B,C重合时( )
A.λ先变小再变大
B.当M为线段BC中点时,λ最大
C.λ先变大再变小
D.λ是一个定值
解析:选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1,r2,则2r1=,2r2=,
因为∠APB+∠APC=180°,
所以sin∠APB=sin∠APC,
所以=,
所以λ==.故选D.
6.在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C. D.3
解析:选B.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
因为·=|-|=3,
所以bccos A=a=3.
又cos A=≥1-=1-,
所以cos A≥,所以00,则cos B=,故a=5.
(2)由(1)知,sin B=,
由S=acsin B=9,得c=6.
由b2=a2+c2-2accos B=13,得b=.
故△ABC的周长为11+.
[能力提升]
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=1,a=2c,则当C取最大值时,△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.当C取最大值时,cos C最小,
由cos C===≥,
当且仅当c=时取等号,
且此时sin C=,
所以当C取最大值时,
△ABC的面积为absin C=×2c×1×=.
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,=a,a=2.若b∈[1,3],则c的最小值为( )
A.2 B.3
C.2 D.2
解析:选B.由=a,得=sin C.由余弦定理可知cos C=,即3cos C=sin C,所以tan C=,故cos C=,所以c2=b2-2b+12=(b-)2+9,因为b∈[1,3],所以当b=时,c取最小值3.
3.已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,2asin B=b,b=2,c=3,AD是内角的平分线,则BD=________.
解析:由2asin B=b及正弦定理得
2sin∠BAC·sin B=sin B,所以sin∠BAC=.
因为∠BAC为锐角,所以∠BAC=.
因为AD是内角平分线,
所以===.
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC=4+9-2×2×3×=7,
所以BC=,BD=.
答案:
4.(2019·金华十校联考)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为____________.
解析:在△ABC中,A+B+C=π,
又A∶B∶C=3∶4∶5,所以A=,B=,C=π.
由正弦定理===2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边,R为△ABC的外接圆半径)可得,a=·c,b=·c,R=.
所以S1=absin C=···c2·sin C
=sin A·sin B·sin C·,
S2=πR2=·,
所以===.
答案:
5.(2019·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,
b,c,已知c=2,C=.
(1)当2sin 2A+sin(2B+C)=sin C时,求△ABC的面积;
(2)求△ABC周长的最大值.
解:(1)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C得4sin Acos A-sin(B-A)=sin(A+B),
得2sin Acos A=sin Bcos A,当cos A=0时,A=,B=,a=,b=,
当cos A≠0时,sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,联立,解得a=,b=.
故△ABC的面积为S△ABC=absin C=.
(2)由余弦定理及已知条件可得:a2+b2-ab=4,
由(a+b)2=4+3ab≤4+3×得a+b≤4,故△ABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形时取到.
6.(2019·杭州市高考模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若msin A=sin B+sin C(m∈R).
(1)当m=3时,求cos A的最小值;
(2)当A=时,求m的取值范围.
解:(1)因为在△ABC中msin A=sin B+sin C,
当m=3时, 3sin A=sin B+sin C,
由正弦定理可得3a=b+c,
再由余弦定理可得cos A=
=
=≥=,
当且仅当b=c时取等号,
故cos A的最小值为.
(2)当A=时,可得m=sin B+sin C,
故m=sin B+sin C
=sin B+sin
=sin B+
=sin B+cos B+sin B
=sin B+cos B=2sin,
因为B∈,
所以B+∈,
所以sin∈,
所以2sin∈(1,2],
所以m的取值范围为(1,2].