【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第5讲椭圆作业 9页

A组　基础关 ‎1．已知椭圆的标准方程为x2＋＝1，则椭圆的焦点坐标为(　　)‎ A．(，0)，(－，0) B．(0，)，(0，－)‎ C．(0,3)，(0，－3) D．(3,0)，(－3,0)‎ 答案　C 解析　椭圆x2＋＝1的焦点在y轴上，a2＝10，b2＝1，故c2＝a2－b2＝9，c＝3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．‎ ‎2．(2018·合肥三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(，0)，B(0,3)，则椭圆E的离心率为(　　)‎ A. B． C． D． 答案　A 解析　由题意得a＝3，b＝，所以c＝＝＝2，离心率e＝＝.‎ ‎3．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．15‎ 答案　D 解析　由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而＝－，所以||＝|－|，两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，所以||2＋||2＝||2＋2·＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以34＋2|PF1||PF2|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.‎ ‎4．(2018·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B 与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝(　　)‎ A．60° B．90°‎ C．120° D．150°‎ 答案　B 解析　由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立，消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，‎ 由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，‎ 得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，‎ 又F(c,0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°.‎ ‎5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B． C． D． 答案　B 解析　由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.故选B.‎ ‎6．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B． C． D． 答案　C 解析　设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.两式相减得，‎ ＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.‎ ‎7．过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)‎ A．14 B．16‎ C．18 D．20‎ 答案　C 解析　如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.‎ ‎8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎9．设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．‎ 答案　 解析　根据已知条件作出如图所示的图形．‎ 记圆x2＋(y－1)2＝3的圆心为M，由三角形的性质可得|PQ|≤|PM|＋|MQ|＝＋|MQ|，设点Q坐标为(x，y)，那么＋y2＝1，所以|QM|2＝x2＋(y－1)2＝4(1－y2)＋(y－1)2＝－3y2－2y＋5，y∈[－1,1]，因此|QM|2≤，即|QM|≤，所以|PQ|≤＋＝，所以P，Q两点间的最大距离为.‎ ‎10．(2018·厦门模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为________．‎ 答案　 解析　因为点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，所以点P的坐标为.‎ 又因为直线PF1的斜率为，所以在Rt△PF1F2中，‎ ＝，即＝.所以b2＝2ac.‎ (a2－c2)＝2ac，(1－e2)＝2e，‎ 整理得e2＋2e－＝0，‎ 又0b>0)的离心率为，点M在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知P(－2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．‎ 解　(1)∵＝，∴a＝2c，椭圆的方程为＋＝1，‎ 将代入得＋＝1，∴c2＝1.‎ ‎∵椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设l的方程为x＝my＋1，联立 消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 有y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 有|AB|＝·＝，‎ 点P(－2,0)到直线l的距离为，点Q(2,0)到直线l的距离为，‎ 从而四边形APBQ的面积S＝××＝(或S＝|PQ||y1－y2|)．‎ 令t＝，t≥1，‎ 有S＝＝，设函数f(t)＝3t＋，f′(t)＝3－>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有3t＋≥4，故S＝＝≤6，‎ 所以当t＝1，即m＝0时，四边形APBQ面积的最大值为6.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．‎ ‎(1)证明：k<－；‎ ‎(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．‎ 解　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.‎ 两式相减，并由＝k得＋·k＝0.‎ 由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①‎ 由题设得m< ＝，且m>0，即0