- 261.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
建议用时:45分钟
一、选择题
1.函数y=sin在区间上的简图是( )
A [令x=0,得y=sin=-,排除B、D.
由f=0,f=0,排除C,故选A.]
2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是( )
A.- B.
C.1 D.
D [由题意可知该函数的周期为,
∴=,ω=2,f(x)=tan 2x.
∴f=tan =.]
3.(2019·潍坊模拟)函数y=sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的值为( )
A. B.
C. D.
B [由题意知y=sin 2x-cos 2x=2sin,其图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=2sin的图象,因为g(x)为偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=+,k∈Z,又因为φ∈,所以φ=.]
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ的值为( )
A.- B.
C.- D.
B [由题意,得=-=,所以T=π,由T=,得ω=2,由图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又因为f=sin=0,-<φ<,所以φ=.]
5.(2019·武汉调研)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,给出以下结论:
①f(x)的最小正周期为2;
②f(x)图象的一条对称轴为直线x=-;
③f(x)在,k∈Z上是减函数;
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B [由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×=2,故①正确;因为函数f(x)的图象过点和,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=+=+k(k∈Z),故直线x=-不是函数f(x)图象的对称轴,故②不正确;由图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+(k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.综上知正确结论的个数为2.]
二、填空题
6.将函数f(x)=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为f(x)=________.
2sin [函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,所得函数为y=2sin=2sin.]
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为________.
x [根据所给图象,周期T=4×=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点,代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z),
再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin,
∴f=sin,
当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.]
8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=________.
[依题意,x==时,y有最小值,
∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z).
∴ω=8k+(k∈Z),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=.]
三、解答题
9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f
eq lc(
c)(avs4alco1(f(π,4)))=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.
[解] (1)因为T==π,所以ω=2,
又因为f=cos=cos
=-sin φ=且-<φ<0,所以φ=-.
(2)由(1)知f(x)=cos.
列表:
2x-
-
0
π
x
0
π
f(x)
1
0
-1
0
描点,连线,可得函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.
[解] (1)由图象可知,A=2.
因为=(T为最小正周期),所以T=π.
由π=,解得ω=2.
又函数f(x)的图象经过点,所以2sin=2,解得φ=+2kπ(k∈Z).
又|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=2sin.
(2)法一:因为x∈[0,m],所以2x+∈.
当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递增;
所以此时f(x)≥f(0)=1,符合题意;
当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递减,
所以f(x)≥f=1,符合题意;
当2x+∈时,即x∈时,f(x)单调递减,
所以f(x)<f=1,不符合题意.
综上,若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,则必有0<m≤,所以m
的最大值是.
法二:画出函数f(x)=2sin的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,且f(0)=f=1,所以0<m≤.所以m的最大值为.
1.将函数f(x)=tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合,则ω=( )
A.9 B.6
C.4 D.8
B [函数f(x)=tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=tan=tan,∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合,∴-+=+kπ,k∈Z,
解得ω=-6k,k∈Z.又∵0<ω<10,∴ω=6.]
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ).则下列叙述错误的是( )
A.R=6,ω=,φ=-
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)递减
D.当t=20时,|PA|=6
C [由题意,R==6,T=60=,所以ω=,
t=0时,点A(3,-3)代入可得-3=6sin φ,因为|φ|<,所以φ=-,故A正确;
f(t)=6sin,当t∈[35,55]时,t-∈,
所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;
当t∈[10,25]时,t-∈,函数y=f(t)先增后减,C不正确;
当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|==6,D正确.故选C.]
3.(2019·长春模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.
[f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,
因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,则ω2≤,即ω2=,
所以ω=.]
4.(2019·湖北八校联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y=f(x)的图象先向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为g(x).
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值.
[解] (1)∵=-=,∴T=π,ω==2,
又∵sin=1,|φ|<,
∴φ=-,f(x)=sin,
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得
y=sin=sin,
再将y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)=sin.
∴g(x)=sin.
(2)∵x∈,∴4x+∈,
当4x+=时,x=,
∴g(x)在上为增函数,在上为减函数,所以g(x)max=g=1,
又因为g(0)=,g=-,所以g(x)min=-,
故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和-.
函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心;
(2)若方程f(x)+2cos=a有实数解,求a的取值范围.
[解] (1)由图可得A=2,=-=,
所以T=π,所以ω=2.
当x=时,f(x)=2,可得2sin=2,
因为|φ|<,所以φ=.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
(2)设g(x)=f(x)+2cos,
则g(x)=2sin+2cos
=2sin+2,
令t=sin,t∈[-1,1],
记h(t)=-4t2+2t+2=-42+,
因为t∈[-1,1],所以h(t)∈,
即g(x)∈,故a∈.
故a的取值范围为.