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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届数学文一轮复习第三章第3讲导数与函数的极值、最值作业

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‎1.函数y=在[0,2]上的最大值是(  )‎ A.          B. C.0 D. 解析:选A.易知y′=,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得2≥x>1,所以函数y=在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=在[0,2]上的最大值是y|x=1=,故选A.‎ ‎2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(  )‎ A.-4 B.-2‎ C.4 D.2‎ 解析:选D.由题意得f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以a=2.‎ ‎3.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则x+x等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C.函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x3-x2-2x,所以f′(x)=3x2-2x-2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,x2是f′(x)=0的两个根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=.‎ ‎4.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(  )‎ A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)‎ C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]‎ 解析:选D.由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-3)‎ ‎-3‎ ‎(-3,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极大值  极小值  又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.‎ ‎5.若函数f(x)=x3-3ax在区间(-1,2)上仅有一个极值点,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(1,4] B.[2,4]‎ C.[1,4) D.[1,2]‎ 解析:选C.因为f′(x)=3(x2-a),所以当a≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,f(x)没有极值点,不符合题意;当a>0时,令f′(x)=0得x=±,当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示:‎ x ‎(-∞,-)‎ ‎- ‎(-,)‎ ‎(,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极大值  极小值  因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以或解得1≤a<4.选C.‎ ‎6.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是________.‎ 解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),‎ 令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),‎ 当-10;‎ 当00),‎ 所以f′(x)=ln x-ax,f″(x)=-a=0,‎ 得一阶导函数有极大值点x=,‎ 由于x→0时f′(x)→-∞;当x→+∞时,f′(x)→-∞,‎ 因此原函数要有两个极值点,‎ 只要f′=ln-1>0,解得00),‎ 所以f′(x)=2x-=,‎ 令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得00,解得x<-2或x>1,令f′(x)<0,解得-20,则由f′(x)=0得x=ln a.‎ 当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.‎ ‎③若a<0,则由f′(x)=0得x=ln(-).‎ 当x∈(-∞,ln(-))时,f′(x)<0;当x∈(ln(-),+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-))上单调递减,在(ln(-),+∞)上单调递增.‎ ‎(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.‎ ‎②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0.‎ ‎③若a<0,则由(1)得,当x=ln(-)时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln(-))=a2[-ln(-)].从而当且仅当a2[-ln(-)]≥0,即a≥-2e时f(x)≥0.‎ 综上,a的取值范围是[-2e,1].‎