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- 2021-06-16 发布
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1.函数y=在[0,2]上的最大值是( )
A. B.
C.0 D.
解析:选A.易知y′=,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得2≥x>1,所以函数y=在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=在[0,2]上的最大值是y|x=1=,故选A.
2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2
C.4 D.2
解析:选D.由题意得f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以a=2.
3.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则x+x等于( )
A. B.
C. D.
解析:选C.函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x3-x2-2x,所以f′(x)=3x2-2x-2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,x2是f′(x)=0的两个根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=.
4.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为( )
A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]
解析:选D.由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.
5.若函数f(x)=x3-3ax在区间(-1,2)上仅有一个极值点,则实数a的取值范围为( )
A.(1,4] B.[2,4]
C.[1,4) D.[1,2]
解析:选C.因为f′(x)=3(x2-a),所以当a≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,f(x)没有极值点,不符合题意;当a>0时,令f′(x)=0得x=±,当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示:
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以或解得1≤a<4.选C.
6.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是________.
解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),
当-10;
当00),
所以f′(x)=ln x-ax,f″(x)=-a=0,
得一阶导函数有极大值点x=,
由于x→0时f′(x)→-∞;当x→+∞时,f′(x)→-∞,
因此原函数要有两个极值点,
只要f′=ln-1>0,解得00),
所以f′(x)=2x-=,
令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得00,解得x<-2或x>1,令f′(x)<0,解得-20,则由f′(x)=0得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
③若a<0,则由f′(x)=0得x=ln(-).
当x∈(-∞,ln(-))时,f′(x)<0;当x∈(ln(-),+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-))上单调递减,在(ln(-),+∞)上单调递增.
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0.
③若a<0,则由(1)得,当x=ln(-)时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln(-))=a2[-ln(-)].从而当且仅当a2[-ln(-)]≥0,即a≥-2e时f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2e,1].