【数学】2020届一轮复习苏教版利用导数研究函数的单调性极值与最值课时作业 4页

第16讲　利用导数研究函数的单调性、极值与最值 ‎1.(2018江苏淮安淮海中学高三模拟)已知集合A={-2,0,1},B={xx2>1},则A∩B=　　　　. ‎ ‎2.(2018常州教育学会学业水平检测)命题“∃x∈[0,1],x2-1≥0”是　　　　命题(选填“真”或“假”). ‎ ‎3.方程|log2x|+x-2=0的解的个数为　　　　. ‎ ‎4.(2018盐城田家炳中学期末)若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎‎3‎=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为　　　　. ‎ ‎5.在△ABC中,∠A=45°,∠C=105°,BC=‎2‎,则AC=　　　　. ‎ ‎6.(2018南京第一学期期中)已知a>b>0,a+b=1,则‎4‎a-b+‎1‎‎2b的最小值等于　　　　. ‎ ‎7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则fπ‎3‎=　　　. ‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过A作x轴的垂线,垂足为H,过H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程为　　　　. ‎ ‎9.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且AB=2AD,AC=3AE,点F为DE的中点,则BF·DE的值为　　　　. ‎ ‎10.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟)如图,矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直,AE=AB,M,N,H分别为DE,AB,BE的中点.‎ ‎(1)求证:MN∥平面BEC;‎ ‎(2)求证:AH⊥CE.‎ ‎11.(2018江苏南通高考冲刺)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点D‎1,‎‎3‎‎2‎,且右焦点为F(1,0),右顶点为A,过点F的弦为BC,直线BA,直线CA分别交直线l:x=m(m>2)于P、Q两点.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)若FP⊥FQ,求m的值.‎ 答案精解精析 ‎1.答案　{-2}‎ 解析　集合B={x|x<-1或x>1},则A∩B={-2}.‎ ‎2.答案　真 解析　当x=1时,x2-1=0≥0成立,故命题是真命题.‎ ‎3.答案　2‎ 解析　在同一坐标系中作出函数y=|log2x|,y=2-x的图象(图略),由两图象有两个交点,可知方程|log2x|+x-2=0有两个解.‎ ‎4.答案　2‎ 解析　双曲线的一条渐近线为‎3‎x-ay=0,圆的圆心为(2,0),半径r=2,圆心到渐近线的距离d=‎2‎‎3‎‎3+‎a‎2‎,依题意有‎2‎‎3‎‎3+‎a‎2‎‎2‎+1=4,解得a=1,所以双曲线的实轴长为2a=2.‎ ‎5.答案　1‎ 解析　∵∠A=45°,∠C=105°,∴∠B=30°,∵BC=‎2‎,∴由正弦定理得BCsinA=ACsinB,AC=BCsinBsinA=‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎=1.‎ ‎6.答案　9‎ 解析　因为a>b>0,所以a-b>0,且(a-b)+2b=a+b=1,则‎4‎a-b+‎1‎‎2b=‎4‎a-b‎+‎‎1‎‎2b[(a-b)+2b]=5+‎8ba-b+a-b‎2b≥5+2‎8ba-b‎·‎a-b‎2b=9,当且仅当‎8ba-b=a-b‎2b,即a-b=4b,即a=‎5‎‎6‎,b=‎1‎‎6‎时取等号,故‎4‎a-b+‎1‎‎2b的最小值等于9.‎ ‎7.答案　1‎ 解析　由图象可得A=2,最小正周期T=‎11π‎12‎‎-‎π‎6‎×‎4‎‎3‎=π=‎2πω⇒ω=2,‎ 则fπ‎6‎=2sin‎2×π‎6‎+φ=2,又0<φ<π,所以φ=π‎6‎,故f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎,则fπ‎3‎=2sin‎2π‎3‎‎+‎π‎6‎=1.‎ ‎8.答案　‎3‎x+y-‎3‎-1=0‎ 解析　由y=x,‎x‎2‎‎+y‎2‎=2,x≥0‎可得A(1,1),所以H(1,0),过H的平行于OA的直线方程为y=x-1,与x2+y2=2,x≥0联立解得B‎1+‎‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎-1‎‎2‎,所以直线AB的斜率是‎3‎‎-1‎‎2‎‎-1‎‎1+‎‎3‎‎2‎‎-1‎=-‎3‎,所以直线AB的方程为y-1=-‎3‎(x-1),即‎3‎x+y-‎3‎-1=0.‎ ‎9.答案　4‎ 解析　由题意可得AB·AC=4×6×cos60°=12.‎ DE‎=‎1‎‎3‎AC-‎1‎‎2‎AB,BF=DF-DB=‎1‎‎2‎DE-‎‎1‎‎2‎AB ‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎AC‎-‎‎1‎‎2‎AB-‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎6‎AC-‎3‎‎4‎AB,所以BF·DE=‎1‎‎6‎AC‎-‎‎3‎‎4‎AB·‎1‎‎3‎AC‎-‎‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎18‎×36-‎1‎‎3‎×12+‎3‎‎8‎×16=2-4+6=4.‎ ‎10.证明　(1)取CE的中点F,连接FB,MF.‎ 因为M为DE的中点,F为EC的中点,‎ 所以MF∥CD且MF=‎1‎‎2‎CD.‎ 又因为在矩形ABCD中,N为AB的中点,‎ 所以BN∥CD且BN=‎1‎‎2‎CD,‎ 所以MF∥BN且MF=BN,所以四边形BNMF为平行四边形,‎ 所以MN∥BF.‎ 又MN⊄平面BEC,BF⊂平面BEC,‎ 所以MN∥平面BEC.‎ ‎(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB,‎ 因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊂平面ABCD,且BC⊥AB,‎ 所以BC⊥平面ABE.‎ 因为AH⊂平面ABE,所以BC⊥AH.‎ 因为AB=AE,H为BE的中点,所以BE⊥AH.‎ 因为BC∩BE=B,BC⊂平面BEC,BE⊂平面BEC,‎ 所以AH⊥平面BEC.‎ 又因为CE⊂平面BEC,所以AH⊥CE.‎ ‎11.解析　(1)由题意得‎1‎a‎2‎+‎9‎‎4‎b‎2‎=1,a2-b2=1,解之得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设B(x0,y0),则BC:y=y‎0‎x‎0‎‎-1‎(x-1),与椭圆E:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1联立得方程组y=y‎0‎x‎0‎‎-1‎(x-1),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1.‎解得x=x0,y=y0或x=‎8-5‎x‎0‎‎5-2‎x‎0‎,y=‎-3‎y‎0‎‎5-2‎x‎0‎,所以C‎8-5‎x‎0‎‎5-2‎x‎0‎‎,‎‎-3‎y‎0‎‎5-2‎x‎0‎.‎ 所以kABkAC=y‎0‎x‎0‎‎-2‎·‎-3‎y‎0‎‎5-2‎x‎0‎‎8-5‎x‎0‎‎5-2‎x‎0‎‎-2‎=y‎0‎x‎0‎‎-2‎·‎3‎y‎0‎x‎0‎‎+2‎=‎3‎y‎0‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎-4‎=‎9‎‎1-‎x‎0‎‎2‎‎4‎x‎0‎‎2‎‎-4‎=-‎9‎‎4‎.显然kAB=kAP,kAC=kAQ,‎ 所以kAPkAQ=-‎9‎‎4‎,设Q(m,y1),则kFQ=y‎1‎m-1‎=y‎1‎m-2‎·m-2‎m-1‎=m-2‎m-1‎kAQ,同理,kFP=m-2‎m-1‎kAP.‎ 所以kFPkFQ=m-2‎m-1‎‎2‎kAPkAQ=-‎9‎‎4‎m-2‎m-1‎‎2‎=-1,又m>2,所以m-2‎m-1‎=‎2‎‎3‎,所以m=4.‎