【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系与参数方程作业 4页

‎2020届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 作业 ‎1．(2019·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(3，)，半径为1的圆．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)消去参数φ可得C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 曲线C2的圆心的直角坐标为(0，3)，‎ 所以C2的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝1.‎ ‎(2)设M(2cos φ，sin φ)，曲线C2的圆心为C2(0，3)，‎ 则|MC2|＝＝ ‎＝＝.‎ 因为－1≤sin φ≤1，‎ 所以|MC2|min＝2，|MC2|max＝4.‎ 根据题意可得|MN|min＝2－1＝1，‎ ‎|MN|max＝4＋1＝5，‎ 即|MN|的取值范围是[1，5]．‎ ‎2．(2019·合肥模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．‎ ‎【解析】：(1)由ρ＝4cos θ，得(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 所以4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或.‎ ‎3．(2019·广东五校协作体第一次诊断考试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4‎ .‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值．‎ ‎4．(2019.贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．‎ 解：(1)由得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9.‎ 由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，‎ 由(1)得C1(4，5)，C2(0，1)，‎ 所以kC1C2＝＝1，则直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，‎ 所以点O到直线C1C2的距离d＝＝，‎ 又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4，　‎ 所以S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.‎ ‎5．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．‎ 以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ ‎【解析】：(1)因为曲线C1的参数方程为，‎ 所以其普通方程为x－y－a＋1＝0.‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，‎ 所以ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，‎ 所以x2＋4x－x2－y2＝0，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，‎ 由 得2t2－2t＋1－4a＝0.‎ Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0，‎ 即a>0，由根与系数的关系得.‎ 根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，　‎ 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，‎ 即t1＝2t2或t1＝－2t2.‎ 所以当t1＝2t2时，有，‎ 解得a＝>0，符合题意．‎ 当t1＝－2t2时，有，‎ 解得a＝>0，符合题意．‎ 综上所述，实数a的值为或.‎ ‎6．(2019·福州综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，其左焦点F在直线l上．‎ ‎(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；‎ ‎(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值． ‎ ‎【解析】：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12化为直角坐标方程，得＋＝1，则其左焦点F(－2，0)，则m＝－2.将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程＋＝1联立，化简可得t2－2t－2＝0，‎ 由直线l的参数方程的几何意义，令|FA|＝|t1|，|FB|＝|t2|，则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎(2)由曲线C的方程＋＝1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)(0＜θ＜)，‎ 则以P为顶点的内接矩形的周长为4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin(θ＋)，‎ 因此当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.‎