【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-4-1坐标系作业 5页

课时跟踪检测（七十六） 坐标系 ‎1.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos＝2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)，‎ 由题意知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝.‎ 由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为ρ＝2cos(ρ＞0)，化简得ρ＝cos θ＋sin θ，因此C2的直角坐标方程为2＋2＝1，但不包括点(0,0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题意知，|OA|＝2，ρB＝2cos，‎ 于是△AOB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝2cos·＝2≤.‎ 当α＝0时，S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.‎ 所以a＝1.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝5.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.‎ 解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.‎ ρ(cos θ＋sin θ)＝5即ρcos θ＋ρsin θ＝5，‎ 因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5.‎ ‎(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－x＋5的距离最小，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－x＋5平行.‎ 即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，‎ 即×(－)＝－1.①‎ 因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2＝1，②‎ 联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.‎ 所以点A的坐标为或.‎ 又因为圆上点A到直线l：y＝－x＋5的距离最小，‎ 所以点A的坐标为，‎ 点A的极径为 ＝，极角θ满足tan θ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝.‎ 所以点A的极坐标为.‎ ‎5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积.‎ 解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，‎ 即x2＋y2－6x－8y＝0.‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.‎ ‎(2)设A，B.‎ 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，‎ ‎∴A.‎ 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，‎ ‎∴B.‎ ‎∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB ‎＝sin ‎＝12＋.‎ ‎6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C ‎2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，‎ 故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).‎ ‎(2)由 得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，‎ 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当0＜α＜时，求|OB|2－|OA|2的最小值.‎ 解：(1)易知曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝4cos2α，‎ 联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝，‎ 则|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8‎ ‎≥2－8＝8－8，‎ 当且仅当sin α＝时取等号，‎ 所以|OB|2－|OA|2的最小值为8－8.‎ ‎8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(β 为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋.‎ ‎(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；‎ ‎(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.‎ 解：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，‎ ‎∴曲线M是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.‎ ‎(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，‎ ‎∵O，A，C三点共线，‎ 则|AC|＝|ρ1－ρ2|＝(*)，‎ 将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，‎ ‎∴ 代入(*)式得|AC|＝.‎ 用θ＋代替θ，得|BD|＝，‎ 又l1⊥l2，‎ ‎∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|‎ ‎＝ ‎＝2，‎ ‎∵sin22θ∈[0,1]，∴S四边形ABCD∈[8，14].‎