【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程作业 6页

一、 填空题 ‎1.(2018·北京高考理科·T10)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=　　　　. ‎ ‎【命题意图】本小题主要考查极坐标系中曲线方程,以及直线与圆的位置关系,意在考查集合表示法的转化与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.‎ ‎【解析】由极坐标与直角坐标的互化公式得,在平面直角坐标系中,已知直线的方程为x+y=a即x+y-a=0(a>0),极坐标下的方程ρ=2cosθ两边同乘ρ可化为ρ2=2ρcosθ,故直角坐标系下的方程为x2+y2=2x配方化为(x-1)2+y2=1,因为直线与圆相切,‎ 所以圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离等于圆的半径,即d==1,‎ 所以a=1±,又a>0,所以a=1+.‎ 答案:1+‎ ‎2.(2018·天津高考理科·T12)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为　　　　. ‎ ‎【命题意图】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系,直线与圆的相交弦长的求法,点到直线的距离以及三角形面积的求法,考查数形结合思想以及运算求解能力.‎ ‎【解析】将直线的参数方程化成普通方程得:x+y-2=0,又因为圆x2+y2-2x=0的圆心C的坐标为C(1,0),半径r=1,所以圆心C到直线的距离d==,|AB|=2=2=.‎ 所以△ABC的面积S=|AB|h=|AB|d=××=.‎ 答案: 二、解答题 ‎3.(10分)(2018·全国卷I高考文科·T22) 同(2018·全国卷I高考理科·T22) [选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ ‎【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,‎ 所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,‎ 所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.‎ 所以k=-,所以C1的方程为y=-|x|+2.‎ ‎4.(2018·全国卷II高考理科·T22)同 (2018·全国卷II高考文科·T22) [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程.‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【命题意图】本题考查参数方程与极坐标以及与普通方程的转化,意在考查考生的化归与转化能力.‎ ‎【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.‎ 当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,‎ 当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程 ‎(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.‎ ‎5.(2018·全国Ⅲ高考理科·T22) 同(2018·全国Ⅲ高考文科·T22) [选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ ‎【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直线与曲线的位置关系,考查转化与化归能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.‎ ‎【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.‎ 当α=时,l与☉O交于两点.‎ 当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-.l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.‎ 综上,α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为(t为参数,<α<).‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.‎ 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.‎ 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数,<α<).‎ ‎6.(2018·江苏高考·T‎21C)[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,‎ 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin=2,‎ 则直线l过A(4,0),倾斜角为,‎ 所以A为直线l与圆C的一个交点.‎ 设另一个交点为B,则∠OAB=.‎ 连结OB,因为OA为直径,从而∠OBA=,‎ 所以AB=4cos=2.‎ 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ ‎5．(2018河南郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2　cos (θ－)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．‎ ‎【解】(1)ρ＝2　cos ＝2(cos θ＋sin θ)，‎ 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)C1的普通方程为x＋y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.‎ ‎2．(2018福建三明质检)在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B.‎ ‎(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；‎ ‎(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数)．若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．‎ ‎【解】(1)O(0,0)，A，B 对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2　cos .‎ ‎(2)圆C2：(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为，所以当圆C1与圆C2外切时，有＋|a|＝，解得a＝±.‎