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- 2021-06-16 发布
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天天练 21 等差数列
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一、选择题
1.在等差数列{an}中,若a3=-5,a5=-9,则a7=( )
A.-12 B.-13
C.12 D.13
答案:B
解析:通解 设公差为d,则2d=a5-a3=-9+5=-4,则d=-2,故a7=a3+4d=-5+4×(-2)=-13,选B.
优解 由等差数列的性质得a7=2a5-a3=2×(-9)-(-5)=-13,选B.
2.[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在等差数列{an}中,a3=1,公差d=2,则a8的值为( )
A.9 B.10
C.11 D.12
答案:C
解析:a8=a3+5d=1+5×2=11,故选C.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d等于( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
答案:D
解析:由S3=3a2=6,得a2=2,又a3=0,所以公差d=-2.
4.[2019·南宁摸考]等差数列{an}中,a3+a7=6,则{an}的前9项和等于( )
A.-18 B.27
C.18 D.-27
答案:B
解析:解法一 设等差数列的公差为d,则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=6,所以a1+4d=3.于是{an}的前9项和S9=9a1+d=9(a1+4d)=9×3=27,故选B.
解法二 由等差数列的性质,得a1+a9=a3+a7=6,所以数列{an}的前9项和S9===27,故选B.
5.[2019·西安八校联考]设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a6=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( )
A.S4S1 D.S4=S1
答案:B
解析:设{an}的公差为d,由a2=-6,a6=6,得解得于是,S1=-9,S3=3×(-9)+×3=-18,S4=4×(-9)+×3=-18,所以S4=S3,S40,得n<6.5.所以在等差数列{an}中,其前6项均为正,其他各项均为负,于是使Sn取到最大值的n的值为6.
12.[2019·甘肃兰州月考]已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,若坐标为(an,Sn)的点在曲线y=x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________.
答案:an=n,n∈N*
解析:因为以(an,Sn)为坐标的点在曲线y=x(x+1)上,所以Sn=an(an+1),即2Sn=a+an,2Sn+1=a+an+1,两式相减得2an+1=a+an+1-(a+an),即(an+1-an-1)·(an+1+an)=0.因为an>0,所以an+1-an=1.又a1=1,所以数列{an}是首项、公差均为1的等差数列,则数列{an}的通项公式为an=n,n∈N*.
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一、选择题
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=ran+r(n∈N*,r∈R,r≠0),则“r=1”是“数列{an}为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:当r=1时,an+1=an+1,显然数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以充分性成立;当数列{an}为等差数列时,设公差为d,则an+1=an+d=ran+r,若r≠1,则an=,为常数,因此数列{an}为常数列,则d=0,所以=1,解得r=,必要性不成立,故“r=1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件.
2.[2019·兰州市诊断考试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=24,则S9=( )
A.36 B.72
C.144 D.288
答案:B
解析:∵a3+a5+a7=3a5=24,∴a5=8,∴S9==9a5=9×8=72.
3.[2019·河南郑州七校联考]在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为( )
A.2 B.10
C. D.
答案:C
解析:对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,即an+1-an=,所以数列{an}是首项a1=-2,公差d=的等差数列.所以数列{an}的前10项和S10=10a1+d=10×(-2)+45×=,故选C.
4.[2018·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10
C.10 D.12
答案:B
解析:设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,
得3=2a1+×d+4a1+×d,将a1=2代入上式,解得d=-3,
故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.
故选B.
5.[2019·湖北襄阳四校模拟]在等差数列{an}中,已知|a7|=|a12|,且公差d>0,则其前n项和Sn取得最小值时n的值为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案:C
解析:∵|a7|=|a12|,且公差d>0,∴-a7=a12,∴a7+a12=0.∴a9+a10=0,∴a9<0,a10>0.∴数列{an}前n项和Sn取得最小值时n的值为9.故选C.
6.[2019·丹东模拟]在等差数列{an}中,公差d≠0,若lga1,lga2,lga4也成等差数列,且a5=10,则{an}的前5项和S5=( )
A.40 B.35
C.30 D.25
答案:C
解析:lga1,lga2,lga4成等差数列,所以2lga2=lga1+lga4⇒lga=lga1a4⇒a=a1a4⇒d2=a1d,因为d≠0,所以a1=d,又a5=a1+4d=10,所以a1=2,d=2,S5=5a1+d=30.选C.
7.[2019·辽宁大连第二十四月考]数列{an}满足a1=2,a2=1并且=-(n≥2),则数列{an}的第100项为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:∵=-(n≥2),∴+=,∴为等差数列,首项为=,第二项为=1,∴d=,∴=+99d=50,∴a100=.
8.[2019·天津月考]已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y
=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于( )
A.2 B.-2
C.0 D.-1
答案:B
解析: 由题意得函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.由数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),可得(a50+a51)=-1,即a50+a51=-2.又数列{an}是等差数列,所以a1+a100=a50+a51=-2.故选B.
二、非选择题
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=________.
答案:114
解析:因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3.又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114.
10.[2019·九江模拟]已知数列{an}为等差数列,a1=1,an>0,其前n项和为Sn,且数列{}也为等差数列,设bn=,则数列{bn}的前n项和Tn=________.
答案:1-
解析:设等差数列{an}的公差为d(d≥0),∵=1,=,=成等差数列,∴2=1+,得d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1,Sn=n2,=n,故数列{}为等差数列,bn===-,则Tn=-+-+…+-=1-.
11.已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn是它的前n项的和,S10=S22.
(1)求Sn;
(2)这个数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.
解析:(1)∵S10=a1+a2+…+a10,
S22=a1+a2+…+a22,
又S10=S22,∴a11+a12+…+a22=0,
即=0,
即a11+a22=2a1+31d=0.
又a1=31,∴d=-2.
∴Sn=na1+d=31n-n(n-1)
=32n-n2.
(2)解法一 由(1)知,
Sn=32n-n2=-(n-16)2+256,
∴当n=16时,Sn有最大值256.
解法二 由(1)知,令
(n∈N*),解得≤n≤,
∵n∈N*,∴n=16时,Sn有最大值256.