【数学】2021届一轮复习人教版文49抛物线作业 6页

课时作业49　抛物线 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·吉林辽源市田家炳中学调研]以直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝2x　B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：易知以直线x＝1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所以y2＝－4x，故选D.‎ 答案：D ‎2．[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ 解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.‎ 答案：D ‎3．[2020·江西南昌一模]已知抛物线方程为x2＝－2y，则其准线方程为(　　)‎ A．y＝－1 B．y＝1‎ C．y＝ D．y＝－ 解析：由题意得，抛物线的准线方程为y＝，故选C.‎ 答案：C ‎4．[2020·江西南昌高三期中]已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，‎ ‎∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是＝.故选C.‎ 答案：C ‎5．[2020·云南昆明调研]设点M为抛物线C：y2＝4x的准线上一点(不同于准线与x轴的交点)，过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设MA，MF，MB的斜率分别为k1，k2，k3，则的值为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 解析：‎ 不妨设点A在x轴上方，如图，由题意知，抛物线C的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．将x＝1代入抛物线C的方程得y＝±2，所以A(1,2)，B(1，－2)．设点M的坐标为(－1，y0)，则k1＝，k2＝，k3＝，所以＝2.故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．[2020·长沙模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，则|P‎1F|＋|P‎2F|＋…＋|P2 ‎017F|＝________.‎ 解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.由抛物线的定义可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2 017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2 017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2 017＋3×2 017＝8 068.‎ 答案：8 068‎ ‎7．[2020·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.‎ 解析：解法一　由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)．由解得或所以点B的横坐标为，所以|BF|＝.‎ 解法二　‎ 如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝.又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝.‎ 答案： ‎8．[2019·河北六校模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的方程为________．‎ 解析：设圆的圆心为M(xM，yM)，根据题意可知圆心M在抛物线C上．又圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，又由题意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8，∴抛物线C的方程为y2＝16x.‎ 答案：y2＝16x 三、解答题 ‎9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．‎ 解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，‎ ‎∴p＝‎2c.‎ 设抛物线方程为y2＝4c·x，‎ ‎∵抛物线过点，‎ ‎∴6＝‎4c·.‎ ‎∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.‎ 又双曲线－＝1过点，‎ ‎∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，‎ ‎∴－＝1.‎ ‎∴a2＝或a2＝9(舍去)．‎ ‎∴b2＝，‎ 故双曲线方程为－＝1.‎ ‎10．[2020·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.‎ ‎(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；‎ ‎(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．‎ 解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，‎ 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.　①‎ ‎(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，‎ ‎∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.‎ ‎(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，‎ 联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．‎ ‎|AB|＝|x2－x1|＝＝·，‎ 点N到直线AB的距离d＝＝，‎ 则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当且仅当k＝0时，取等号，‎ ‎∵△ABN的面积的最小值为4，‎ ‎∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2020·福建厦门一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，AF的中点坐标为(2,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝10x D．y2＝16x 解析：由抛物线y2＝2px(p>0)，可得F，由线段AF的中点坐标为(2,2)，可得A，又点A在抛物线C上，代入抛物线C的方程可得16＝2p，得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，故选B.‎ 答案：B ‎12．[2020·湖南五市十校联考]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|NR|＝(　　)‎ A．2 B. C．2 D．3‎ 解析：‎ 如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于H，∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|，∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴MN∥QF，∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR，∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF为等边三角形，‎ ‎∴MF⊥PQ，∴F为HR的中点，∴|FR|＝|FH|＝2，∴|NR|＝2.故选A.‎ 答案：A ‎13．[2020·郑州入学测试]抛物线y2＝8x的焦点为F，点A(6,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．‎ 解析：‎ 由题意得抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.∵|AF|＝＝5，∴求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，如图，连接PD，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，∴|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何的知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|取得最小值，∴|PA|＋|PF|的最小值为xA－(－2)＝8，∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.‎ 答案：13‎