【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第7章第2讲空间几何体的表面积与体积作业 9页

对应学生用书[练案47理][练案45文]‎ 第二讲　空间几何体的表面积与体积 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2020·广东六校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　A　)‎ A．π＋　 B．2π＋　‎ C．2π＋　 D．π＋ ‎[解析]　由三视图知，该几何体由圆柱与三棱锥组合而成，其体积为π＋×2××＝π＋.故选A．‎ ‎2．(文)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　B　)‎ A．π　 B．　‎ C．　 D． ‎(理)正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　B　)‎ A．4π　 B．8π　‎ C．12π　 D．16π ‎[解析]　(文)设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－()2＝，所以，圆柱的体积V＝π×1＝，故选B．‎ ‎(理)由正弦定理得＝2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r＝1，外接球的半径R＝＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝8π.故选B．‎ ‎3．(2019·甘肃兰州部分校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　A　)‎ A．(9＋)π　 B．(9＋2)π C．(10＋)π　 D．(10＋2)π ‎[解析]　由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋π×＝(9＋)π.‎ ‎4．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　C　)‎ A．2　 B．4　‎ C．6　 D．8‎ ‎[解析]　由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为‎1 cm,‎2 cm，高为‎2 cm，直四棱柱的高为‎2 cm，故直四棱柱的体积V＝×2×2＝‎6 cm3.‎ ‎5．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　D　)‎ A．60　 B．30　‎ C．20　 D．10‎ ‎[解析]　‎ 由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为5,3,4的长方体中的三棱锥A－BCD，如图所示．故该几何体的体积是V＝×(×5×3)×4＝10.故选D．‎ ‎6．(2020·贵州安顺联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由三视图知该几何体的底面为正方形(对角线长为2)且有一条侧棱垂直底面的四棱锥，其高为2，∴该几何体的体积为×(2×1)×2＝，故选A．‎ ‎7．(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为(　A　)‎ A．34π　 B．25π　‎ C．41π　 D．50π ‎[解析]　根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球即为对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R＝＝，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A．‎ ‎8．(2019·湖北武汉部分学校调研)‎ 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(　C　)‎ A．2　 B．‎2‎　‎ C．2　 D．4‎ ‎[解析]　‎ 由三视图可知几何体为棱长为1的正方体的内接正四面体，如图，又AD＝，∴S表面积＝4××()2＝2.故选C．‎ ‎9．(2019·广东佛山质检)已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P－BCE的外接球表面积为(　C　)‎ A．10π　 B．5π　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意翻折可得几何体P－BCE中：‎ PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE.‎ 即三棱锥可以补成以PB，PC，PE为棱的长方体，‎ 其对角线为外接球的直径：＝，‎ 故r＝，∴外接球的表面积为：4×π×＝，故选C．‎ ‎10．(2020·陕西汉中质检)四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P－ABCD的侧面积等于4(1＋)，则该外接球的表面积是(　B　)‎ A．4π　 B．12π　‎ C．24π　 D．36π ‎[解析]　‎ 根据三视图可在棱长为a的正方体中得到直观图，是一个四棱锥P－ABCD，如图所示：‎ 则四棱锥的侧面积为：‎ S△PAB＋S△PAD＋S△PBC＋S△PDC＝a2＋a2＋a·a＋a·，‎ 根据已知侧面积可得：(＋1)a2＝4(＋1)，‎ 解得：a＝2，设PC的中点为O，则 OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝＝，‎ 所以四棱锥的外接球的半径R＝，‎ 所以该外接球的表面积为 ‎4πR2＝4π×()2＝12π，故选B．‎ 二、填空题 ‎11．(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为　.‎ ‎[解析]　本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积．四棱锥的底面BB1D1D 为矩形，其面积为1×＝，又点A1到底面BB1D1D的距离，即四棱锥A1－BB1D1D的高为A‎1C1＝，所以四棱锥A1－BB1D1D的体积为××＝.‎ 另解：VA1－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA1－ABD＝VABD－A1B1D1＝.‎ ‎12．(2019·天津十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　.‎ ‎[解析]　由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为××π×12×2＝；球半径为1，体积为×π×13＝，所以，该几何体的体积为＋＝.‎ ‎13．(2019·辽宁省朝阳市重点中学模拟)表面积为4的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为π　.‎ ‎[解析]　如图所示，将正四面体补形成一个正方体，设正四面体棱长为a，则4×a2＝4，解得a＝2，‎ ‎∴正方体的棱长是，‎ 又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R＝，‎ ‎∴R＝，∴球的体积为π()3＝π.‎ 故答案为：π.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·吉林市五地六校适应性考试)若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为8π .‎ ‎[解析]　‎ 作出圆柱与其外接球的轴截面如下：‎ 设圆柱的底面圆半 径为r，则BC＝2r，‎ 所以轴截面的面积为 S正方形ABCD＝(2r)2＝4，解得r＝1，‎ 因此，该圆柱的外接球的半径R＝＝，‎ 所以球的表面积为S＝4π()2＝8π.‎ 故答案为8π.‎ ‎2．(2020·湖北省部分重点高中联考)已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．2　 D． ‎ [解析]　由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图，四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，∴SO⊥底面ABCD，且SO＝，∴V＝××2×2＝.故选D．‎ ‎3．(2019·江西上饶二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为(　C　)‎ A．π＋　 B．π＋ C．π＋　 D．π＋ ‎[解析]　‎ 几何体为半圆柱与四棱锥的组合体(如图)，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1，故几何体的体积V＝×π×12×2＋×22×1＝π＋.故选C．‎ ‎4．(2019·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．4　 D． ‎[解析]　如图，依三视图知该几何体为正方体中的三棱锥D－ABC，连接DF，过A作AE⊥DF，则AE为底面DBC上的高，由三视图可得S△DBC＝×4×4＝8，AE＝，所以其体积 V＝×8×＝.故选D．‎ ‎5．(2019·河北省衡水中学调研)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝2，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　A　)‎ A．12π　 B．16π　‎ C．20π　 D．24π ‎[解析]　由题意，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝2，‎ ‎∵△ABC为直角三角形，∴BC⊥BA，又BC⊥PA，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，∴P、A、B、C是棱长为2的正方体的四个顶点，而正方体外接球半径R满足4R2＝4＋4＋4＝12，‎ ‎∴S球＝4πR2＝12π，故选A．‎