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- 2021-06-16 发布
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不等式选讲
1．若f(x)＝logx，R＝f，S＝f，T＝f，a，b为正实数，则R，S，T的大小关系为( )
A．T≥R≥S B．R≥T≥S
C．S≥T≥R D．T≥S≥R
解析 ∵a，b为正实数，∴≤＝，＝≤≤＝，
∵f(x)＝logx在(0，＋∞)上为增函数，
R＝f，S＝f，
T＝f，∴T≥R≥S.
答案 A
2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)f(x)min＝9，即a的取值范围是(9，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)函数可化为
f(x)＝
∴f(x)∈[－3，3]．
(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，
又由(1)知f(x)max＝3.
若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，∴2－3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．
4．设不等式|x－2|>1的解集与关于x的不等式x2－ax＋b>0的解集相同．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)＝a＋b的最大值，以及取得最大值时x的值．
5．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
综上所述，不等式f(x)>2的解集为{x|x>1或x<－5}．
(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，
则只需f(x)min＝－≥t2－，
解得≤t≤5.
7．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－1或a＞3 B．a＜0或a＞3
C．－1＜a＜3 D．－1≤a≤3
解析 |x－1|＋|x－3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之和，故它的最小值为2，
∵原不等式解集为∅，∴a2－2a－1＜2. 即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3. 故选C.
答案 C
8．设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．
解析 ∵x2－bx＋c<0的解集是(－1，3)，
∴>0且－1，3 是x2－bx＋c＝0的两根，则函数f(x)＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，
且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
又∵7＋|t|≥7>1，1＋t2≥1，
则由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，
得7＋|t|>1＋t2，
即|t|2－|t|－6<0，
亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，
∴|t|<3，即－3f(x)min＝9，即a的取值范围是(9，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)函数可化为
f(x)＝
∴f(x)∈[－3，3]．
(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，
又由(1)知f(x)max＝3.
若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，
∴2－3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．
11．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．
12．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
(1)证明 由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解 f(3)＝|3＋|＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，
由f(3)<5得31.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当20，b>0)，则≤1，
又＋≥≥2，
当且仅当a＝b时取等号，
∴＋的最小值m＝2.
(2)函数f(x)＝|x－t|＋≥
＝＝|t|＋≥2，
对于(1)中的m＝2，＝1<2.
∴满足条件的实数x不存在．
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