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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届浙江一轮复习通用版6-4数列求和作业

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‎ [基础达标]‎ ‎1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a12=(  )‎ A.18 B.15‎ C.-18 D.-15‎ 解析:选A.记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+…+a11+a12‎ ‎=(-b1)+b2+…+(-b11)+b12=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b12-b11)=6×3=18.‎ ‎2.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(  )‎ A.或5 B.或5‎ C. D. 解析:选C.设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1,且=,解得q=2,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,由求和公式可得S5=.‎ ‎3.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为(  )‎ A.120 B.99‎ C.11 D.121‎ 解析:选A.an===-,所以a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.‎ ‎4.设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a8=32,则S11的最小值为(  )‎ A.22 B.44 C.22 D.44‎ 解析:选B.因为数列{an}为各项均为正数的等差数列,所以a4+a8≥2=8,S11==(a4+a8)≥×8=44,故S11的最小值为44,当且仅当a4=a8=4时取等号.‎ ‎5.设等比数列{an}的各项均为正数,且a1=,a=4a2a8,若=log2a1+log2a2+…+log2an,则数列{bn}的前10项和为(  )‎ A.- B. C.- D. 解析:选A.设等比数列{an}的公比为q,因为a=4a2a8,所以(a1q3)2=4a1q·a1q7,即4q2‎ ‎=1,所以q=或q=-(舍),所以an==2-n,所以log2an=log22-n=-n,所以=-(1+2+3+…+n)=-,所以bn=-=-2,‎ 所以数列{bn}的前10项和为 ‎-2=‎ ‎-2=-.‎ ‎6.(2019·杭州八校联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(a,a)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于(  )‎ A.3n-1 B. C. D. 解析:选A.由点(a,a)在直线x-9y=0上,得a-9a=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn===3n-1,故选A.‎ ‎7.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18的值是________.‎ 解析:由a1>0,a10·a11<0可知d<0,a10>0,a11<0,‎ 所以T18=a1+…+a10-a11-…-a18‎ ‎=S10-(S18-S10)=60.‎ 答案:60‎ ‎8.设函数f(x)=+log2,定义Sn=f+f+…+f,其中n∈N*,且n≥2,则Sn=________.‎ 解析:因为f(x)+f(1-x)=+log2++log2=1+log21=1,‎ 所以2Sn=+[f+f]+…+=n-1.‎ 所以Sn=.‎ 答案: ‎9.数列的前n项和为,则n的值为________.‎ 解析:由题意得+++…+=-+-+-+…+- ‎=1-==.所以n=99.‎ 答案:99‎ ‎10.(2019·温州中学高三模考)已知数列{an}满足:a1=,an+1=a+an,用[x]表示不超过x的最大整数,则的值等于________.‎ 解析:因为an+1=a+an,故an+1-an=a>0,即数列{an}是递增数列,由an+1=a+an可得an+1=an(an+1),所以=-,从而=-,‎ 所以1<++…+=-<=2,故=1.‎ 答案:1‎ ‎11.(2019·金华十校联考)设数列{an}的各项均为正数,且a1,22,a2,24,…,an,22n,…成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,若Sk≥30(2k+1),求正整数k的最小值.‎ 解:(1)设等比数列的公比为q,则q2==22,‎ 又由题意q>0,故q=2,‎ 从而an==22n-1,‎ 即数列{an}的通项公式为an=22n-1.‎ ‎(2)由(1)知a1=2,数列{an}是以22为公比的等比数列,‎ 故Sn==(22n-1).‎ 因此不等式Sk≥30(2k+1)可化为(22k-1)≥30(2k+1),即(2k-1)(2k+1)≥30(2k+1),‎ 因为2k+1>0,‎ 所以2k≥46,‎ 即k≥log246,‎ 又5<log246<6,‎ 所以正整数k的最小值为6.‎ ‎12.(2019·温州市普通高中模考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,2Sn=(n+1)an+1(n≥2).‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<(n∈N*).‎ 解:(1)当n=2时,2S2=3a2+1,解得a2=2.‎ 当n=3时,2S3=4a3+1,‎ 解得a3=3.‎ 当n≥3时,2Sn=(n+1)an+1,2Sn-1=nan-1+1,‎ 以上两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1,‎ 所以=,‎ 所以==…==1,‎ 所以an=.‎ ‎(2)证明:bn==,‎ 当n≥2时,bn=<=-,‎ 所以Tn=+++…+=-<.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(  )‎ A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0‎ C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0‎ 解析:选B.因为 a3,a4,a8成等比数列,所以a=a3a8,所以(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-d2.因为 d≠0,所以a1d<0.因为 Sn=na1+d,所以S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-d2<0.‎ ‎2.在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤对任意的n∈N*恒成立,则正整数m的最小值为(  )‎ A.3 B.4‎ C.5 D.6‎ 解析:选C.在等差数列{an}中,因为a2=5,a6=21,‎ 所以解得a1=1,d=4,‎ 所以==.‎ 因为- ‎=- ‎=--=-- ‎=+>0,所以数列(n∈N*)是递减数列,数列(n∈N*)的最大项为S3-S1=+=,所以≤,m≥.又m是正整数,所以m的最小值是5.‎ ‎3.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是________.‎ 解析:由S5S6+15=0,得·(6a1+d)+15=0.‎ 整理可得2a+9a1d+10d2+1=0.‎ 因为a1,d为实数,所以Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0,解得d≤-2或d≥2.‎ 答案:d≤-2或d≥2 ‎4.(2019·台州诊断考试)已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,有=1成立,则S2 017=________.‎ 解析:当n≥2时,由=1,得2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-S=-SnSn-1,‎ 所以-=1,又=2,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,‎ 所以=n+1,故Sn=,‎ 则S2 017=.‎ 答案: ‎5.(2019·浙江“七彩阳光”联盟联考)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,数列{bn}的前n项的和为Sn,试求数列{S2n-Sn}的最小值.‎ 解:(1)由条件an+1=2an得=2·,‎ 又a1=2,所以=2,‎ 因此数列构成首项为2,公比为2的等比数列,‎ 从而=2·2n-1=2n,因此,an=n·2n.‎ ‎(2)由(1)得bn=,设cn=S2n-Sn,则cn=++…+,‎ 所以cn+1=++…+++,‎ 从而cn+1-cn=+->+-=0,‎ 因此数列{cn}是单调递增的,所以{cn}min=c1=.‎ ‎6.(2019·浙江严州阶段测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a7=4,a19=2a9,数列{bn}的前n项和为Tn,满足42an-1=λTn-(a5-1)(n∈N*).‎ ‎(1)是否存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由;‎ ‎(2)已知对于n∈N*,不等式+++…+<M恒成立,求实数M的最小值.‎ 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 则an=a1+(n-1)d.‎ 因为 所以解得a1=1,d=,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=.‎ 因为a5=3,42an-1=λTn-(a5-1),‎ 所以4n=λTn-2,Tn=4n+.‎ 当n=1时,b1=;‎ 当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=4n+-4n-1-=4n-1.‎ 所以bn+1=4n=4bn(n≥2),‎ 若数列{bn}是等比数列,则有b2=4b1,‎ 而b2=,所以=2与b2=4b1矛盾.‎ 故不存在非零实数λ,使得数列{bn}为等比数列.‎ ‎(2)由(1)知Sn=,‎ 所以==,‎ 从而+++…+ ‎= ‎= ‎=<,‎ 所以M ≥,故实数M的最小值为.‎