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- 2021-06-16 发布
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解答题1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)若∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.
解(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,
当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-;
当-1f(x)min,
由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,
当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,
则|a-1|<2,即-21的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为,
所以≥1,故01的解集;
(2)若x∈时不等式f>x成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=
结合函数图象可知,不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为0
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