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- 2021-06-16 发布
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2020届北师大版（理科数学） 利用空间向量求解空间角 单元测试
1.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos=-，则l与α的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选A.设l与α的夹角为θ，则sin θ=|cos|=，θ=30°.
2.某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面夹角的正切值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可知三视图对应的几何体的直观图如图，几何体是四棱锥，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，显然，最长的棱是SC，AC==，则最长侧棱与底面夹角的正切值为：==.
3.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为
( )
A.150° B.45° C.60° D.120°
【解析】选C.因为·=0，·=0，所以由=++，两边平方得，=+++2(·+·+·)，所以=
62+42+82+2×6×8cos<，>，所以cos<，>=-，所以<，>=
120°，因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的大小为60°.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD的夹角为α，则sin α的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.如图，
以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，设=μ=
μ(0，0，1)，所以=+=+(0，0，μ)=，容易得到平面A1BD的法向量为n=(-1，1，1)，所以sin α=
===，因为μ∈[0，1]，所以sin α∈.
5．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷】如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.
（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；
（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.
【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以.
因为，点是的中点，
所以.
又因为平面，平面，，
所以平面.
（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.
易知，，，
则点，，，
所以，.
设，则.
所以.
设平面的一个法向量为，则
由得解得
令，得平面的一个法向量为，
所以，
解得.
故所求的值为或.
6．【山东省淄博市2019届高三3月模拟】如图，在四棱锥PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，ÐPAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．
(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(Ⅱ)若直线PA// 平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．
【解析】解：（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，
又因为，AP=2，∠PAD=60°，
由，可得，
所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，
因为，所以DP⊥平面PAB，
因为，所以平面PAB⊥平面PCD
（Ⅱ）由AB⊥平面PAD
以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示建立空间直角坐标系.
其中，，，，.
从而，，，
设，从而得，
，
设平面MBD的法向量为，
若直线PA//平面MBD，满足，
即，
得，取，
且，
直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于：
.
7【山东省淄博市2018-2019学年度3月高三模拟】．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点在棱上.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线平面，求此时直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为平面，所以，
又因为，，，
由，可得，
所以，，即，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
如图所示，建立空间直角坐标系，
其中，，，，.
从而，，，
设，从而得，，
设平面的法向量为，
若直线平面，满足，
即，
得，取，且，
直线与平面所成角的正弦值等于。
8．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，．
(I)求证：平面PCA⊥平面PCD；
(II)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．
【解析】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得
，
∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，
又，∴CD⊥平面PCA.
又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.
(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，.
设，，
则
∴x=0，，，即点E的坐标为
∴
又平面ABCD的一个法向量为
∴sin45°
解得
∴点E的坐标为，∴，，
设平面EAB的法向量为
由得
令z=1，得平面EAB的一个法向量为
∴.
又二面角E-AB-D的平面角为锐角，
所以，二面角E-AB-D的余弦值为
9．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图，已知四边形是边长为2的菱形，且，，，，点是线段上的一点．为线段的中点．
（1）若⊥于且，证明：平面；
（2）若,，求二面角的余弦值．
【解析】（1）四边形是边长为2的菱形，且
与交于点且为等边三角形
， 又,
,又 ,
,
在中，
在中，
在中, , ,
，又,
（2）在平面中，过作直线∥, 则,如图，以为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
,,,
, ,
,
设是平面的法向量，则
,即，
取，取中点，连结，
,，
因此，是平面的法向量，
, ,
设二面角的大小为，则
,
二面角的余弦值为
10．【新疆2019届普通高考第一次适应性检测】如图，和所在平面互相垂直，且，，、分别为、的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
【解析】（1）由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得，，
，，，
，，因此，
，所以.
（2）解：如上图中，设平面的一个法向量为.
又，，
由可取.
设平面的法向量，又，，
由可取.
设二面角大小为，且由题意知为锐角
，因此，
即所求二面角的正弦值为.
11．【晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末】如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正切值．
【解析】
（1）因为是的中点，，所以．
又因为， ，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，所以平面．
因为分别是的中点，所以．
又因为平面平面，所以面
又因为平面平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，
所以．
设平面的一个法向量为，则，令，得，
所以．
易知平面的一个法向量为．
所以．
又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值．
12．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】如图，在四棱锥中，且和分别是棱和的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）∵为中点，，
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
∵为中点，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
由得，
又，
∴平面．
∵，
∴平面．
又平面，
∴．
∵，
∴．
又，
∴平面．
∵平面，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．
以为原点，为轴，为轴，平面内过点且与的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∵，
∴．
又，
∴．
∴点到轴的距离为．
∴同时知．
又，
∴．
∴．
设平面的一个法向量为，
由得
令则．
又，
设直线与平面所成的角为.
则．
即直线与平面所成的角的正弦值为．
13．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，是中点，点在线段上.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若 ，求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.
【解析】 (Ⅰ)解：中，∴∴；
连，中
∴∴，∴
又∴平面∴
(Ⅱ)由（1）：，又侧面底面于，∴底面，∴以为原点，延长线、、分别为、、轴建系；
∴，，,，，
∴，，，
设，（），则
，
设平面的一个法向量，则，可得
又平面的一个法向量
由题：，即
解得：
14．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，，，为线段上一点.
(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由
(2)己知，若异面直线与成角，二而角的余弦值为，求的长.
【解析】解：（1）延长，交于点，连接，则平面.
若平面，由平面平面，平面，则.
由，，则，
故点是线段上靠近点的一个三等分点.
（2）∵，，，平面，平面，
则平面
以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，则，，
设平面和平面的法向量分别为，.
由，得即，
令，则，故.
同理可求得.
于是，则，解之得（负值舍去），故.
∴.
15．【江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考】如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面 平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．
（Ⅰ）求证：平面 平面；
（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】解：（Ⅰ） 四边形是正方形，∴.
∵平面 平面平面平面，∴平面.
∵平面，∴.
∵，点为线段的中点，∴.
又∵，∴平面.
又∵平面，∴平面 平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.
在平面内过作交于点，
∴，故，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，，∴.
∵平面， 则，，
又为的中点，，
假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，
设平面的法向量为， 则
∴，令，则，则
平面，平面的一个法向量,,则
∴.
，解得，∴
16．【2019年四川省达州市高考理科数学一诊】如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，，平面ABCD，，，F是线段PG的中点；
求证：平面PAC；
若时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．
【解析】证明：分别连接DB，DF，
，F分别是线段AG，PG的中点，
，，
又，，
四边形BDFE为平行四边形．
．
四边形ABCD时正方形，，
平面ABCD，，
，AC是面PAC内两两相交直线，
面PAC，平面PAC；
解：分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，2，，2，，0，，，．
设平面PCF的法向量，由．
．
平面PAG的法向量为
．
平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值为．
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