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- 2021-06-16 发布
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考点17 正弦定理和余弦定理
一、 选择题
1.(2018·全国卷II高考理科·T6)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=
( )
A.4 B. C. D.2
【命题意图】本题考查余弦定理,二倍角公式.
【解析】选A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,
所以AB2=1+25-2×1×5×=32,所以AB=4.
2.(2018·全国卷II高考文科·T7)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=
( )
A.4 B. C. D.2
【命题意图】本题考查余弦定理,二倍角公式.
【解析】选A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,
所以AB2=1+25-2×1×5×=32,所以AB=4.
3.(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)同(2018·全国Ⅲ高考文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C= ( )
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用,
考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.
【解析】选C.由题意S△ABC=absinC=,即sinC=,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,
又C∈(0,π),所以C=.
二、填空题
4.(2018·全国卷I高考文科·T16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 .
【解析】根据正弦定理有:
sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,
所以2sinBsinC=4sinAsinBsinC,
因为B,C∈(0,π),
所以sinB≠0,sinC≠0,
所以sinA=.因为b2+c2-a2=8,
所以cosA===,
所以bc=,所以S=bcsinA=.
答案:
5.(2018·北京高考文科·T14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 .
【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,求取值范围,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accosB,
△ABC的面积S=(a2+c2-b2)=·2accosB,
又S=acsinB,
所以cosB=sinB,因为角C为钝角,所以cosB≠0,
所以tanB==,又0,=+>2,
即的取值范围是(2,+∞).
答案: (2,+∞)
6.(2018·浙江高考T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= .
【命题意图】考查正、余弦定理的简单应用.
【解析】由正弦定理=得=,得sinB=,由余弦定理得cosA===,解得c=3.
答案: 3
三、解答题
7.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T15)
在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.
(1)求∠A.
(2)求AC边上的高.
【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB==
=-,
解得c=-5(舍),或c=3,
所以cosA===,
又因为00,sinB=,
由正弦定理,=,
即sinA=sinB=×=,
又因为0