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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习人教A版 不等式选讲 作业
1.已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.
(1)若不等式f(x)+|x-1|≥2对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为a-1,求实数a的值.
[解] (1)f(x)+|x-1|≥2可化为+|x-1|≥1.
∵+|x-1|≥,
∴≥1,
∴a≤0或a≥4,
∴实数a的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
(2)当a<2时,易知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|的零点分别为和1,且<1,
∴f(x)=
易知f(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)min=f=-+1=a-1,解得a=,又<2,∴a=.
2..若f(x)≤|2x+1|的解集包含,求a的取值范围.
解:由题意可知f(x)≤|2x+1|在上恒成立,
当x∈时,f(x)=|2x-a|+|x-1|
=|2x-a|+x-1≤|x+1|=x+1,
∴|2x-a|≤2,即2x-2≤a≤2x+2,
∴(2x-2)max=4,
(2x+2)min=5,
因此a的取值范围为[4,5].
3.函数f(x)不变,若存在实数x,使不等式f(x)-3|x-1|≥2能成立,求实数a的取值范围.
解:∵f(x)-3|x-1|=|2x-a|-2|x-1|
=|2x-a|-|2x-2|≤|a-2|.
∴|a-2|≥2.
∴a≤0或a≥4.
∴实数a的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
4.已知函数f(x)=|x|+|x+1|.
(1)若任意x∈R,恒有f(x)≥λ成立,求实数λ的取值范围.
(2)若存在m∈R,使得m2+2m+f(t)=0成立,求实数t的取值范围.
解:(1)由f(x)=|x|+|x+1|≥|x-(x+1)|=1知,f(x)min=1,
欲使任意x∈R,恒有f(x)≥λ成立,
则需满足λ≤f(x)min,
所以实数λ的取值范围为(-∞,1].
(2)由题意得f(t)=|t|+|t+1|=
存在m∈R,使得m2+2m+f(t)=0成立,
即有Δ=4-4f(t)≥0,所以f(t)≤1,
又f(t)≤1可等价转化为
或或
所以实数t的取值范围为[-1,0].