【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 (1) 10页

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、‎ 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，点P由C出发以每秒2 cm的速度沿线段CA向点A运动(不运动至A点)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2 s时，⊙O的半径是(　　)‎ A. cm B. cm C. cm D. 2 cm ‎2、‎ 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于(　　)‎ A a B. a C. a D. a ‎3、‎ 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6 cm，则其外接圆的直径为(　　)‎ A. cm B. 2 cm C. 4 cm D. 6 cm ‎4、‎ 如图，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，CD⊥AB于D，若BC＝3，AC＝4，则AD∶CD∶BD等于(　　)‎ A. 4∶6∶3 B. 6∶4∶3‎ C. 4∶4∶3 D. 16∶12∶9‎ ‎5、‎ 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于P点，∠B＝30°，∠APD＝80°，则∠A＝(　　)‎ A. 40° B. 50° C. 70° D. 110‎ ‎6、‎ 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于(　　)‎ A. 80° B. 100° C. 120° D. 130°‎ ‎7、‎ 如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC等于 A．2 　　　　 B.‎ C．2 　　　　 D．2‎ ‎8、‎ 点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于(　　)‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 9‎ ‎9、‎ 如图所示，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：‎ ‎①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；‎ ‎②AF·AG＝AD·AE；‎ ‎③△AFB∽△ADG．‎ 其中正确结论的序号是(　　)‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③‎ ‎10、‎ 如图，已知：⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP的度数是(　　)‎ A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°‎ ‎11、正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为 A. B. C. D. ‎ ‎12、‎ 如图，⊙中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，若，，，，则 ．‎ ‎13、‎ 如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________．‎ ‎14、‎ 如图，过点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C，D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.‎ ‎ 15、‎ 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．‎ ‎16、已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，分别交，于点，，.‎ ‎（1）求证：为的平分线；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎17、已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC经过点.‎ ‎18、如图，是圆的切线，切点为，是过圆心的割线且交圆于点，过作圆的切线交于点，.求证：.‎ ‎19、如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，‎ DA＝DC．求证：CA＝3CB．‎ ‎20、如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．‎ ‎（I）证明：A，P，O，M四点共圆；‎ ‎（II）求∠OAM＋∠APM的大小．‎ 参考答案 ‎1、答案：A ∵PC＝2×2＝4 cm，‎ ‎∴P是AC的中点，‎ ‎∴BC＝6 cm，BP＝2 cm.连接OD，∵D为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，则OD∥BC，‎ 即.设半径OD＝3k，DP＝2k，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵AE、AD为⊙O的切线，‎ ‎∴AE＝AD＝AP＋PD＝4＋2k，‎ BE＝10－(4＋2k)＝6－2k.‎ 在Rt△BOE中，∵OB2＝BE2＋OE2，‎ ‎∴，解得.‎ 故半径OD＝3k＝.‎ 本题选择A选项. ‎ ‎2、答案：A ∵AC为BD的垂直平分线，‎ ‎∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，‎ ‎∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，‎ ‎∴AB＝AD＝BD，‎ ‎∴∠ACD＝∠ABD＝60°，‎ ‎∴∠CDB＝30°，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴CD＝tan 30°·AD＝a.‎ ‎3、答案：C 作BC边上的中线AD，则AD⊥BC，延长AD交△ABC外接圆于E，连接CE.‎ ‎∵AE⊥BC，AE平分BC，‎ ‎∴AE为△ABC外接圆的直径，‎ ‎∴∠ACE＝90°.‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎∠CAD＝∠BAC＝60°，CD＝BC＝3 cm，‎ ‎∴ (cm)．‎ 在Rt△ACE中， (cm)．‎ 即△ABC外接圆的直径为 cm.‎ 本题选择C选项.‎ 名师点评：在辅助线的作法和叙述上易出现以下的错误：？1？作AB和CD的垂线段EF；？2？过O点作直线EF垂直AB和CD；？3？过O点作AB和CD的垂直平分线EF；？4？连接AB，CD的中点EF，并使之通过O点；？5？连接EF，使EF⊥AB，EF⊥CD.这些作法和叙述违反了几何作图的基本要求.在学习几何时要应用规范用语，突出几何语言，特别在尺规作图时，更要突出作图规范用语.‎ ‎4、答案：D 由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形．由勾股定理知AB＝5.又CD⊥AB，根据射影定理就有AC2＝AD·AB，于是AD＝.同理，BD＝，CD＝，据此即得三条线段的比值AD∶CD∶BD等于16∶12∶9.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5、答案：B 易知∠A＝∠D，‎ 又∵∠APD＝∠B＋∠D，∠B＝30°，∠APD＝80°，‎ ‎∴∠D＝∠APD－∠B＝80°－30°＝50°.‎ ‎∴∠A＝50°.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6、答案：D ∵∠A＝80°，‎ ‎∴∠ABC＋∠ACB＝100°.‎ ‎∵∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，‎ ‎∴∠IBC＋∠ICB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝50°，‎ ‎∴∠BIC＝180°－50°＝130°.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7、答案：D 延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM＝，OC＝2.‎ ‎ 8、答案：B 延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，‎ 且CP·PD＝AP·PB＝36，‎ ‎∴PC2＝36，PC＝6，‎ 本题选择B选项..‎ ‎9、答案：A 逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，‎ 所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE ‎＝AB＋AC＋BC，即①正确；‎ 由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；‎ 因为△ADF∽△AGD，所以③错误．故选A．‎ ‎10、答案：B 要求弦切角∠ADP，即连接BD，‎ 则∠ADP＝∠ABD，又AB是直径，所以∠ADB＝90°，‎ 而四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ 所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°，‎ 所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°.‎ 本题选择B选项.‎ ‎11、答案：D 如图，将平移至为靠近的三个等分点处， ， 为的中点， 也为中点， ，根据四点共面， ， ，故选D.‎ ‎12、答案： 13、答案： 4 30°‎ 由切割线定理得，‎ PD2＝PE·PF，‎ ‎∴，EF＝8，OD＝4.‎ ‎∵OD⊥PD，OD＝PO，‎ ‎∴∠P＝30°，∠POD＝60°，‎ ‎∴∠EFD＝30°.‎ ‎14、答案：75°‎ 由题易得∠PEB＝∠PAE，又由三角形外角性质得∠PCE＝∠CPA＋∠PAE，‎ 又△PEC的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，‎ 所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.‎ 名师点评：命题要点： (1)利用相似三角形的性质、弦切角定理证明角相等；求角．(2)利用圆的切割线定理、相交弦定理证明线段成比例、线段相等．‎ ‎15、答案：5‎ 在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB？sin60°=．‎ ‎∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．‎ 在Rt△BCD中，CD=BC？cos60°=，BD=BC？sin60°=15．‎ 由切割线定理可得CD2=DE？DB，∴，解得DE=5．‎ 故答案为5．‎ ‎16、答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：判断为等腰直角三角形，根据弦切角定理，三角形外角定理，及圆周角定理的推论即可得证（2）若结合（1）的结论，可以得到三个角的度数，解三角形即可求得结果 ‎（Ⅰ）∵为圆的切线，∴，‎ 又∵为直径，，∴.‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴为的平分线 ‎（Ⅱ），∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴ 17、答案：试题分析：因为是下半圆的中点，所以,从而是的平分线．又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.所以直线PC经过点.‎ 试题连结，则．‎ 因为是圆周角，同弧上的圆心角，‎ 所以． ‎ 同理可得，，所以是的平分线． ‎ 又PC也是的平分线，的平分线有且只有一条，所以PC与重合.‎ 所以直线PC经过点.10分 考点：等弧对应等角 18、答案：试题分析：由切割线定理得，，即得得，即得，解得.‎ 试题∵是圆的切线，∴，‎ 连结，则，‎ ‎∵是圆的切线，∴，‎ 又，∴，∴，‎ 则，‎ 而，∴，∴，‎ 由得，代入得，‎ 故． 19、答案：试题分析：‎ 连接，,为圆的切线，，从而,可得，进而可得结果 试题证明：连接OD，因为DA=DC，‎ 所以∠DAO=∠C．‎ 在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，‎ 所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．‎ 因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，‎ 从而？DOC＋？C＝90°，‎ 即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，‎ 所以OC＝2OD＝2OB，‎ 所以CB＝OB，所以CA＝3CB． 20、答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）90°.‎ 试题分析：（1）证明四点共圆，一般利用对角互补进行证明：根据相切及垂径定理得OP⊥AP及OM⊥BC，从而得∠OPA＋∠OMA＝180°.（2）根据四点共圆得同弦所对角相等：∠OAM＝∠OPM，因此 ‎∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 试题（1）证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，‎ 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.‎ 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆.‎ ‎（2）解由（1）得A、P、O、M四点共圆，‎ 所以∠OAM＝∠OPM，‎ 由（1）得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，‎ 所以∠OPM＋∠APM＝90°，‎ 所以∠OAM＋∠APM＝90°.‎ 考点：四点共圆 ‎