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- 2021-06-16 发布
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[基础达标]
1.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )
A.-a+b B.a-b
C.-a-b D.-a+b
解析:选B.设c=λa+μb,则(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),所以所以所以c=a-b.
2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反,则x的值是( )
A.2 B.-2
C.±2 D.0
解析:选B.因为a与b方向相反,所以b=ma,m<0,则有(4,x)=m(x,1),所以解得m=±2.又m<0,所以m=-2,x=m=-2.
3.已知A(1,4),B(-3,2),向量=(2,4),D为AC的中点,则=( )
A.(1,3) B.(3,3)
C.(-3,-3) D.(-1,-3)
解析:选B.设C(x,y),则=(x+3,y-2)=(2,4),所以解得即C(-1,6).由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5),所以=(0+3,5-2)=(3,3).
4.(2019·温州瑞安七中高考模拟)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=( )
A.-8 B.-4
C.4 D.2
解析:选C.设正方形的边长为1,则易知c=(-1,-3),
a=(-1,1),b=(6,2);因为c=λa+μb,
所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),
解得λ=-2,μ=-,故=4.
5.已知非零不共线向量、,若2=x+y,且=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
解析:选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,所以消去λ得x+y-2=0,故选A.
6.(2019·金华十校联考)已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则|++|的最小值是( )
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
解析:选A.设点P(x,y),动点P满足||=1可得x2+(y+2)2=1.
根据++的坐标为(+x,y+1),可得|++|=,表示点P(x,y)与点Q(-,-1)之间的距离.
显然点Q在圆C:x2+(y+2)2=1的外部,求得QC=,|++|的最小值为QC-1=-1,
故选A.
7.已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.
解析:因为a∥b,所以(1-sin θ)×(1+sin θ)-1×=0,得cos2θ=,所以cos θ=±,又因为θ为锐角,所以θ=.
答案:
8.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则ab的最大值为________.
解析:易知=(a-1,1),=(-b-1,2),由A,B,C三点共线知∥,故2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.
由基本不等式可得1=2a+b≥2,当且仅当2a=b时等号成立,所以ab≤,
即ab的最大值为.
答案:
9.(2019·台州质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,向量a=(cos C,b-c),向量b=(cos A,a)且a∥b,则tan A=________.
解析:a∥b⇒(b-c)cos A-acos C=0,即bcos A=ccos A+acos C,再由正弦定理得sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A⇒sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即cos A=,所以sin A=,tan A==.
答案:
10.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为2,且=λ+μ,则λ+μ=________.
解析:因为∠DEB=∠ABC=45°,
所以AB∥DE,
过D作AB,AC的垂线DM,DN,
则AN=DM=BM=BD·sin 45°=,
所以DN=AM=AB+BM=2+,
所以=+=+,
所以λ=,μ=,
所以λ+μ=1+.
答案:1+
11.已知=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?
解:由题设,知=d-c=2b-3a,
=e-c=(t-3)a+tb.
C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
①若a,b共线,则t可为任意实数;
②若a,b不共线,则有
解之得t=.
综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;
a,b不共线时,t=.
12.(2019·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且|DM|=1,|DN|=2,∠MDN=.
(1)试用向量,表示向量,;
(2)求||,||;
(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点),若=x+y,求x,y的值.
解:(1)如图所示,
=+=-;
=+=+=-.
(2)由(1)知=-,=-,
所以||==,
||==.
(3)由重心性质知:++=0,所以有:
0=x+y+=x(-)+y(-)-=(x+y-1)+(-x)+(-y).
所以(x+y-1)∶(-x)∶(-y)=1∶1∶1⇒x=y=.
[能力提升]
1.(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=.若动点P满足=(1-λ)+(λ∈R),则点P的轨迹与直线BC,AC所围成的封闭区域的面积为( )
A.5 B.10
C.2 D.4
解析:选A.设=,因为=(1-λ)+=(1-λ)+λ,所以B,D,P三点共线.所以P点轨迹为直线BC.在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=,所以sin C=,所以S△ABC=×7×6×=15,所以S△BCD=S△ABC=5.
2.设两个向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,则的取值范围是( )
A.[-6,1] B.[4,8]
C.(-∞,1] D.[-1,6]
解析:选A.由a=2b,得
所以
又cos2α+2sin α=-sin2 α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,所以-2≤cos2α+2sin α≤2,所以-2≤λ2-m≤2,
将λ2=(2m-2)2代入上式,得-2≤(2m-2)2-m≤2,得≤m≤2,所以==2-∈[-6,1].
3.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________________.
解析:由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能构成三角形,则,不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠.
答案:m≠
4.(2019·浙江名校新高考研究联盟联考) 如图,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,AD=DC=CB=AB=1,F为BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动,E为圆弧与AB的交点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是________.
解析:建立平面直角坐标系如图所示,
则A(0,0),E(1,0),D,B(2,0),
C,F;
设P(cos α,sin α)(0°≤α≤60°),
因为=λ+μ,
所以(cos α,sin α)=λ+μ.
所以
所以2λ-μ=sin α-cos α=2sin(α-30°),
因为0°≤α≤60°,所以-1≤2sin(α-30°)≤1.
答案:[-1,1]
5.(2019·嘉兴模拟)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.
解:(1)=t1+t2
=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).
当点M在第二或第三象限时,有
故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.
(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).
因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,且有公共点A,
所以不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.
6.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?
(2)若=2a+3b,=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值.
解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-.
(2)法一:因为A、B、C三点共线,
所以=λ,即2a+3b=λ(a+mb),
所以,解得m=.
法二:=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
因为A、B、C三点共线,所以∥.
所以8m-3(2m+1)=0,
即2m-3=0,所以m=.