【数学】2020届一轮复习人教版（理）第6章第3讲基本不等式作业 6页

A组　基础关 ‎1．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 答案　B 解析　由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.‎ ‎2．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)‎ A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q 答案　A 解析　由a＞2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝ x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A.‎ ‎3．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是(　　)‎ A．函数y＝x＋的最小值为2‎ B．函数y＝的最小值为2‎ C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4 D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4 答案　D 解析　对于A，当x＝－1时，y＝－2，故A不正确；‎ 对于B，y＝＝＋≥2，‎ 当且仅当＝时取等号，此时无解．‎ 故最小值不为2，B不正确；‎ 对于C，D，因为x>0，所以3x＋≥2＝4，‎ 当且仅当3x＝时等号成立，则2－≤2－4，故C不正确，D正确．‎ ‎4．已知a>0，b>0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于(　　)‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ 答案　B 解析　a>0，b>0，且a＋2b＝8，则ab＝a×2b≤×2＝×16＝8，当且仅当a＝2b＝4时取得等号．则ab的最大值为8.‎ ‎5．函数f(x)＝logm(x－1)＋1(m>0且m≠1)过定点P，已知直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过定点P，则＋的最小值为(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．3＋2 答案　D 解析　函数f(x)＝logm(x－1)＋1过定点P(2,1)，代入直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)的方程可得2a＋b－1＝0，所以2a＋b＝1，可知＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当b＝a时，取等号，所以最小值为3＋2.故选D.‎ ‎6．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．6 C．9 D．16‎ 答案　B 解析　∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1，同理b>1，‎ ‎∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，∴最小值为6.‎ ‎7．(2018·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤ 答案　A 解析　因为对任意x>0，≤a恒成立，‎ 所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，‎ 而对x∈(0，＋∞)，‎ ＝≤＝，‎ 当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥.故选A.‎ ‎8．设a>0，b>0，a＋b＝＋，则3a＋81b的最小值为________．‎ 答案　18‎ 解析　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ 所以3a＋81b＝3a＋34b≥2 ‎＝2≥2＝2 ‎＝2×32＝18，‎ 当且仅当a＝4b＝2时等号成立．‎ ‎9．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2017＝4034，则＋的最小值为________．‎ 答案　4‎ 解析　由题意得S2017＝ ‎＝＝4034，所以a9＋a2009＝4.‎ 又a9>0，a2009>0，‎ 所以＋＝(a9＋a2009)‎ ‎＝≥ ‎＝4.‎ 当且仅当＝，即＝3时等号成立，所以＋的最小值为4.‎ ‎10．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．‎ 答案　30‎ 解析　一年的总运费为6×＝(万元)．‎ 一年的总存储费用为4x万元．‎ 总运费与总存储费用的和为万元．‎ 因为＋4x≥2 ＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，‎ 所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．‎ B组　能力关 ‎1．(2018·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．4 B. C．8 D．9‎ 答案　D 解析　∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，‎ 若A，B，C三点共线，则有∥，‎ ‎∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，‎ 又a>0，b>0，‎ ‎∴＋＝·(2a＋b)‎ ‎＝5＋＋≥5＋2＝9，‎ 当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.‎ ‎2．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)‎ A. B. C．2 D. 答案　C 解析　由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，‎ ‎∴xy的最大值为2.‎ ‎3．(2019·河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·(2a)·≤××[(2a)2＋()2]＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当 时等号成立，此时a＝，故选D.‎ ‎4．(2018·河北衡水中学调研)已知a>b，ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．2 答案　D 解析　∵ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立，‎ ‎∴ 又∵∃x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，‎ ‎∴Δ＝4－4ab≥0，故只能4－4ab＝0，即ab＝1.‎ ‎∴＝＝(a－b)＋≥2，‎ 故选D.‎ ‎5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝12，则△ABC面积的最大值为________．‎ 答案　9‎ 解析　∵ab≤2＝36，当且仅当a＝b＝6时，等号成立，∴S△ABC＝ab sinC≤×36×＝9.‎ ‎6．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为________．‎ 答案　 解析　由题意得，‎ f(x)＝＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝.‎ ‎7．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，‎ 即≥3恒成立，即知a≥－＋3.‎ 设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝.‎ ‎∴g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，‎ ‎∴－＋3≤－，∴a≥－，‎ 故a的取值范围是.‎