东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试试卷（二）数学（文科）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 2{ | 4}A x Z x  „ ， { | 4 2}B x x    ，则 A B  （ ） A. { | 2 2}x x ≤ B. { | 4 2}x x   C. { 2, 1,0,1,2}  D. { 2, 1,0,1}  【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合的交运算，即可容易求得结果. 【详解】 { | 2 2} { 2, 1,0,1,2}A x Z x     ≤ ≤ 故可得  2, 1,0,1A B    故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数 z 满足（1+i）2z＝1﹣i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案. 【详解】由（1+i）2z＝1﹣i，得 z    2 2 11 1 1 1 (1 ) 2 2 2 2 i ii i ii i i          ， ∴z 在复平面内对应的点的坐标为（ 1 1 2 2  ， ），位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题. 3.已知向量 ,a b   满足 a  （2，1），b  （1，y），且 a b  ，则 2a b  ＝（ ） - 2 - A. 5 B. 5 2 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得 y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a  （2，1），b  （1，y），且 a b  ，则有 a b   2+y＝0，解可得 y＝﹣ 2，即 b  （1，﹣2）， 则 2a b   （4，﹣3），故 2a b   16 9  5； 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题. 4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近 6 次篮球比赛的得分数进行统计， 甲乙两人的平均得分分别是 x甲 、 x乙 ，则下列说法正确的是（ ） A. x x甲 乙 ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B. x x甲 乙 ，甲比乙稳定，应选甲参加 比赛 C. x x甲 乙 ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 D. x x甲 乙 ，乙比甲稳定，应选乙参加 比赛 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解. 【详解】由题得 18+26+28+28+31+33 82= =6 3x甲 ， 12+18+19+25+26+32= =226x乙 ， - 3 - 所以 x x甲 乙 . 从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加. 故选 B 【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力. 5.等比数列{an}中，a5、a7 是函数 f（x）＝x2﹣4x+3 的两个零点，则 a3•a9 等于（ ） A. ﹣3 B. 3 C. ﹣4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得 3 9a a 的值. 【详解】∵a5、a7 是函数 f（x）＝x2﹣4x+3 的两个零点，∴a5、a7 是方程 x2﹣4x+3＝0 的两个 根， ∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3． 故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题. 6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部 某地一中、二中、三中 3 所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的 学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生.现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小刘分配到一中. （5）小盂没有分配到二中， 据此判断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A. 小刘三中 B. 小李一中 C. 小盂三中 D. 小刘二中 【答案】C 【解析】 - 4 - 【分析】 由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到 三中，问题得以解决. 【详解】由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C. 【点睛】本题考查了合情推理的实际应用问题，其中解答中数练应用合理推理，结合题意求 解是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7.设 ,a b 是两条直线， ,  是两个平面，则 a b r r 的一个充分条件是（ ） A. , / / ,a b     B. , , / /a b     C. , , / /a b     D. , / / ,a b     【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出 a b r r 成立的即可，由空间线线、线面、面面的 位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案. 【详解】A. 由 , / / ,a b     ，还可能得到 / /b a ，如图（1），所以不正确. B. 由 , , / /a b     ，还可能得到 / /b a ，如图（2），所以不正确. C. 由 , / /b    ，可得b  ，又 ,a  所以有 a b r r ，所以正确. D. 由 , / / ,a b     ，如图（3），所以不正确. 故选：C 【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和 - 5 - 空间想象能力，属于基础题. 8.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且 f（﹣4）＝0，则 使得 xf（x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ ） A. （﹣4，4） B. （﹣4，0）∪（0，4） C. （0，4）∪（4，+∞） D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式  x f x 的解集. 【详解】∵函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数 f（x）是 在（﹣∞，0）上是增函数， 又 f（﹣4）＝0，∴f（4）＝0，由 xf（x）＞0，得   0 0 x f x    ＞ ＞ 或   0 0 x f x    ＜ ＜ ，∴x＞4 或 x＜ ﹣4． ∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 9.已知直线 y＝﹣2 与函数   2 3f x sin x      ，（其中 w＞0）的相邻两交点间的距离为π， 则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A. 5 6 6k k k Z        ， ， B. 5 12 12k k k Z        ， ， C. 5 11 6 6k k k Z        ， ， D. 5 11 6 12k k k Z        ， ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据周期求得 ，再根据单调区间的求法，求得  f x 的单调区间. - 6 - 【详解】∵y＝﹣2 与函数   2 3f x sin x      ，（其中 w＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期 T＝π，即 2   π，得ω＝2，则 f（x）＝2sin（2x 3  ），由 2kπ 2   2x 3   2kπ 2  ，k∈Z， 得 kπ 12   x≤kπ 5 12  ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ 12  ，kπ 5 12  ]，k∈Z， 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题. 10.若函数   2 0 2 0x log x xf x a x     ， ＞ ， 有且只有一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C. [﹣1，0） D. [0，+∞） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据  f x 在 ,0 没有零点列不等式，解不等式求得 a 的取值范围. 【详解】当 x＞0 时，因为 log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数   2 0 2 0x log x xf x a x     ， ＞ ， 有且只有一个零点， 则当 x≤0 时，函数 f（x）没有零点即可，当 x≤0 时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣ a≤﹣2x﹣a＜﹣a， 所以﹣a≤0 或﹣1﹣a＞0，即 a≥0 或 a＜﹣1. 故选：B 【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题. 11.已知与椭圆 2 2 18 2 x y  1 焦点相同的双曲线 2 2 2 2 x y a b   1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别 为 F1，F2，离心率为 e 4 3  ，若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 12，N 为 MF2 的 中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（ ） - 7 - A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，可得|NO| 1 2  |MF1|  6﹣a，再由椭圆 1 与双曲线 1 焦点相同，离心率为 e 4 3  ， 可得 a 即可. 【详解】如图所示，可得|NO| 1 2  |MF1| 1 2  （|MF2|﹣2a）＝6﹣a， 因为双曲线 2 2 2 2 x y a b   1 的离心率为 e 4 3  ，所以 4 3 c a  . 因为椭圆 2 2 18 2 x y  1 与双曲线 2 2 2 2 x y a b   1 焦点相同，所以 c 18 2   4， 所以 a＝3，所以|NO|  6﹣a＝3， 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的定义，以及双曲线、椭圆的方程及其简单点几何性质的应用， 其中解答中熟记椭圆和双曲线的定义、标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力． 12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极 图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区 域在 y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： ①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 - 8 - ②当 3 2a   时，直线 y＝ax+2a 与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则 x+y 的最大值为 2； ④设点 P（﹣2，b），点 Q 在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b 的范围是[﹣2，2]． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线 3 32y x   和圆  22 1 1x y   的位置 关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得 x y 的最大值，由此判断③的正确性.将 45OPQ   转化为过 P 的两条切线所成的角大于等于90 ，由此求得 OP 的取值范围，进而 求得b 的取值范围，从而判断出④的正确性. 【详解】对于①，将 y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一 半， 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ， 正确； 对于②，当 3 2a   时，直线    3 32 2 2 32 2y ax a a x x x          ,过点    2,0 , 0, 3  ，所以直线 2y ax a  与白色部分在第 I 和第 IV 象限部分没有公共点.圆  22 1 1x y   的圆心为  0, 1 ，半径为1，圆心 0, 1 到直线 3 32y x   ，即直线 - 9 - 3 2 6 0x y   的距离为 2 2 4 4 1 133 2    ，所以直线 2y ax a  与白色部分在第 III 象 限的部分没有公共点.综上所述，直线 y＝ax+2a 与白色部分没有公共点，②错误； 对于③，设 l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线 l 与圆 x2+（y﹣1）2＝1 相切时，z 最 大， 由 1 1 2 z  解得 z 2 1  （ 1 2z   舍去），③错误； 对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点 P 的两条切线所成角大于等于90 ， 所以 2 245 2sinOP    ，即 OP≤2 2 ，于是 22+b2≤8，解得 2 2b ≤ ≤ ． 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 x ， y 满足约束条件 1 0 2 0 2 2 0 x y x y          ，则 3z x y  的最大值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】 在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线 1 3y x  ， 找到一点使得直线 1 3y x z   在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示： - 10 - 在可行解域内平移直线 1 3y x  ，当直线 1 3y x z   经过 A 点时，直线在纵轴上的截距最 大， A 点的坐标是方程组 2 2 2 y y x     的解，解得 2 2 y x    ，所以 3z x y  的最大值是 2 3 2 8   . 故答案为：8 【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力. 14.袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任 取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事 件 A 发生的概率，利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“国”、“富”、 “民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产 生了以下 18 组随机数： 231 232 210 023 122 021 321 220 031 231 103 133 132 001 320 123 130 233 由此可以估计事件 A 发生的概率为_____. 【答案】 1 3 - 11 - 【解析】 【分析】 经随机模拟产生了以下 18 组随机数，利用列举法求出其中事件 A 发生的随机数有 6 个，由此 能估计事件 A 发生的概率. 【详解】由题意，袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字， 有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件 A， 用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概率， 利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数， 分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字， 以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数， 其中事件 A 发生的随机数有：210，021，031，103，001，130，共 6 个， 所以估计事件 A 发生的概率为 P 6 1 18 3   . 故答案为： 1 3 . 【点睛】本题考查概率的求法，以及古典概型的概率计算公式的应用，其中解答中认真审题， 利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了运算求解能力. 15.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术•商功》.其中阳马和 鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方，如图长方体 ABCD﹣A1B1C1D1，按平面 ABC1D1 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱.称该三梭柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的 棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四梭锥 D1﹣ABCD 称为阳马，余下的三棱锥 D1﹣BCC1 是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，按以上操作得到阳马.则该阳马的最长棱长为_____. 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 - 12 - 由几何体的结构特征，根据已知线段长度利用勾股定理求得阳马的所有棱长，即可求解，得 到答案. 【详解】如图所示，在阳马 D1﹣ABCD 中，底面 ABCD 为长方形，侧棱 D1D⊥底面 ABCD， 且 AB＝DC＝5，AD＝BC＝4，D1D＝AA1＝3， 则 2 2 1 3 4 5D A    ， 2 2 1 3 5 34D C    ， 2 2 2 1 3 4 5 5 2D B     . 所以该阳马的最长棱长为5 2 . 故答案为：5 2 . 【点睛】本题考查棱柱与棱锥的结构特征，以及空间中线段长度的计算，着重考查了数形结 合思想，以及推理与计算能力． 16.已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 4Sn＝an 2+2an，n∈N*.设 bn＝（﹣1）n•anan+1， Tn 为数列{bn}的前 n 项和，则 T2n＝_____. 【答案】8n（n+1） 【解析】 【分析】 由数列的递推式：当 n＝1 时，a1＝S1；n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的通项公式和求 和公式，化简整理可得所求和. 【详解】数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 4Sn＝a 2 n  2an，n∈N*. 可得 n＝1 时，4a1＝4S1＝a1 2+2a1，解得 a1＝2， n≥2 时，4Sn﹣1＝an﹣1 2+2an﹣1，又 4Sn＝an 2+2an， 相减可得 4an＝an 2+2an﹣an﹣1 2﹣2an﹣1， 化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0， 由 an＞0，可得 an﹣an﹣1＝2， 则 an＝2+2（n﹣1）＝2n， bn＝（﹣1）n•anan+1＝（﹣1）n•4n（n+1）， 可得 T2n＝4[﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+6×7﹣…﹣（2n﹣1）（2n）+（2n）（2n+1）] ＝4（2×2+2×4+2×6+…+2×2n）＝8 1 2  n（2+2n）＝8n（n+1）. 故答案为：8n（n+1）. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，其中解答 - 13 - 中熟记 na 和 nS 的关系式，以及等差数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答额关键，着 重考查化简运算能力. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a＝2bcosC+csinB． （Ⅰ）求 tanB； （Ⅱ）若 C 4  ，△ABC 的面积为 6，求 BC． 【答案】（Ⅰ）tanB＝2；（Ⅱ）3 2 【解析】 【分析】 （I）利用正弦定理化简已知条件，求得 tan B 的值. （II）由 tan B 的值求得 ,cossinB B 的值，从而求得 sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的 面积公式列方程，由此求得 a 也即 BC 的值. 【详解】（Ⅰ）∵2a＝2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA＝2sinBcosC+sinCsinB，又 sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 化为：2cosB＝sinB≠0，∴tanB＝2． （Ⅱ）∵tanB＝2，B∈（0，π），可得 sinB 2 5  ，cosB 1 5  ． ∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC 2 2 1 2 3 10 2 2 105 5      ． ∴ a b sinA sinB  ，可得：a 3 10 3 2 2 10 4 5 b b   ．又 1 2 absin 4   6，可得 b 12 2 a  ． ∴a 3 2 12 2 4 a   ，即 2 18a  ，解得 BC a ＝3 2 ． 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开 始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.如表为某高中为了调查学生成绩与 选修生涯规划课程的关系，随机抽取 50 名学生的统计数据. - 14 - 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课 6 19 25 总计 21 29 50 （1）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有 99%的把握认为“学生的成绩是否 优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由； （2）现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机抽取 5 名学生作为代表，从 5 名学生代表中再任选 2 名学生继续调查，求这 2 名学生成绩至少有 1 人优秀的概率. 参考附表： P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式        2 2 n ad bcK a b a c b d c d      ，其中 n＝a+b+c+d. 【答案】（1）有 99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，详见解析（2） 9 10 【解析】 【分析】 （1）由列联表中的数据结合公式求得得 K2 的观测值 k，结合临界值表得结论； （2）利用枚举法写出从 5 名学生中任选 2 名学生的全部基本事件，再求出所选 2 人至少有 1 人成绩优秀的事件数，由古典概型概率公式求解． 【详解】（1）由已知表格中的数据，可得 K2 的观测值 k 250 (15 19 6 10) 21 29 25 25        6.650＞ 6.635. 所以有 99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”； - 15 - （2）由题意得，在成绩优秀的学生中抽取 15 5 25   3（人），分别记为 A，B，C， 在成绩不够优秀的学生中抽取 5﹣3＝2（人），分别记为 a，b. 则从 5 名学生中任选 2 名学生的全部基本事件为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb， ab，共有 10 种， 其中所选 2 人至少有 1 人成绩优秀的事件为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb， 共有 9 种. ∴这 2 名学生中至少有 1 人优秀的概率为 P 9 10  . 【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型概率的求法，其中解答中利用列举法求得基本 事件的总数，利用独立性检验的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答 问题的能力． 19.四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面 ABCD，E 在 PB 上. （1）证明：AC⊥PD； （2）若 PE＝2BE，求三棱锥 P﹣ACE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 9 【解析】 【分析】 （1）过 A 作 AF⊥DC 于 F，推导出 AC⊥DA，AC⊥PA，从而 AC⊥平面 PAD，由此能求出 AC⊥PD． （2）由 VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱锥 P﹣ACE 的体积． 【详解】（1）过 A 作 AF⊥DC 于 F， 因为 AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以 CF＝DF＝AF＝1， 所以∠DAC＝90°，所以 AC⊥DA， 又 PA⊥底面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥PA， 又 PA，AD⊂平面 PAD，PA∩AD＝A，所以 AC⊥平面 PAD， - 16 - 又 PD⊂平面 PAD，∴AC⊥PD. （2）由 PE＝2BE，可得 VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC， 所以 1 1 11 1 23 2 3P ABCV        ， 1 1 3 9E ABC P ABCV V   ， 所以三棱锥 P﹣ACE 的体积 VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC 1 1 2 3 9 9    . 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 20.已知点 A（0，2），B 为抛物线 x2＝2y﹣2 上任意一点，且 B 为 AC 的中点，设动点 C 的轨迹 为曲线 E. （1）求曲线 E 的方程； （2）是否存在斜率为 1 的直线 l 交曲线 E 于 M、N 两点，使得△MAN 为以 MN 为底边的等腰三 角形？若存在，请求出 l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）x2＝4y（2）直线 l 不存在，详见解析 【解析】 【分析】 （1）设 C（x，y），B（m，n），利用中点坐标公式得到 2 2 2 xm yn     ，代入抛物线方程，即可求 出点 C的轨迹方程，即曲线 E 的方程； （2）设直线 l 的方程为：y＝x+t，与曲线 E 的方程联立，得到△＞0，利用韦达定理求出 MN 的中点 P 的坐标，再利用 KAP•Kl＝﹣1 求出 t 的值，经检验不满足△＞0，从而直线 l 不存在. 【详解】（1）设 C（x，y），B（m，n）， 由 B 是 AC 的中点，则 2 2 2 xm yn     ， - 17 - 因为 B 在抛物线 x2＝2y﹣2 上，所以 m2＝2n﹣2，所以 2 22 24 2 x y   ， 化简得：x2＝4y，所以曲线 E 的方程为：x2＝4y． （2）设直线 l 的方程为：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程 2 4 y x t x y     ，消去 y 得：x2﹣4x﹣4t＝0， 所以△＝16+16t＞0，x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，可得 MN 的中点 P（2，2+t）， 因为 KAP•Kl＝﹣1，所以 2 2 1 12 0 t     ，解得 2t   ， 将 2t   代入 16 16 ( 2) 16 0        ，不符合   ， 所以直线 l 不存在. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类 题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类 问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运 算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数 f（x）＝axex，g（x）＝x2+2x+b，若曲线 y＝f（x）与曲线 y＝g（x）都过点 P （1，c）．且在点 P 处有相同的切线 l． （Ⅰ）求切线 l 的方程； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 k[ef（x）]≥g（x）对任意 x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数 k 的取 值范围． 【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ） 1 e  k≤e 【解析】 【分析】 （I）根据切点和斜率列方程，解方程组求得 , ,a b c 的值，进而求得切线方程. （II）构造函数      h x k ef x g x    ，利用导数研究  h x 的单调性，对 k 进行分类讨论， 结合   0h x  恒成立，由此求得 k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵f′（x）＝aex（x+1），g′（x）＝2x+2，由已知可得         ' 1 ' 1 1 1 f g f g c     ， - 18 - 即 2 4 3 ae ae b c      ，解得 a 2 e  ，b＝﹣1，c＝2，∴切线的斜率 g′（1）＝4， ∴切线 l 的方程为 y﹣2＝4（x﹣1），即 4x﹣y﹣2＝0， （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f（x）＝2xex﹣1，g（x）＝x2+2x﹣1，设 h（x）＝k[ef（x）]﹣g（x）＝ 2kxex﹣（x2+2x﹣1）， 即 h（x）≥0，对任意 x∈[﹣1，+∞）恒成立，从而 h（x）min≥0， ∴h′（x）＝2k（x+1）ex﹣2（x+1）＝2（x+1）（kex﹣1）， ①当 k≤0 时，h′（x）≤0，h（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又 h（1）＝2ke﹣2＜0，显 然 h（x）≥0 不恒成立， ②当 k＞0 时，h′（x）＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝﹣lnk， （i）当﹣lnk＜﹣1 时，即 k＞e 时，h′（x）≥0，h（x）单调递增， 又 h（x）min＝h（﹣1） 2k e    2  2 e k e  ＜0，显然 h（x）≥0 不恒成立， （ii）当﹣lnk＝﹣1 时，即 k＝e 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， ∴h（x）min＝h（﹣1） 2k e    2  2 e k e   0，即 h（x）≥0 恒成立， （iii）当﹣lnk＞﹣1 时，即 0＜k＜e 时， 当 x∈[﹣1，﹣lnk）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当 x∈（﹣lnk，+∞）时，h′（x） ＞0，h（x）单调递增， ∴h（x）min＝h（﹣lnk）＝-2lnk﹣（ln2k﹣2lnk﹣1）＝1﹣ln2k≥0，解得 1 e  k≤e，∴ 1 e  k ＜e， 综上所述得： 1 e  k≤e． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查 分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 四、选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选-题作答，如果多做则按所做的第题计分. [选修 4-4 坐标系与参数方程] 22.已知曲线C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    ，直线l 的参数方程为 2 52 5 53 5 x t y t       （t 为参 - 19 - 数）. （Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程； （Ⅱ）设点 P 为曲线C 上的动点，点 M 和点 N 为直线 l 上的点，且 2MN  .求 PMN 面 积的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 2cos 3sin x y     （ 为参数）， 2 8 0x y   ；（Ⅱ） 4 5 12 5,5 5       . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式，把曲线 C 的极坐标方程化成直角坐标方 程，然后再判断曲线C 的类型，写出它的参数方程；利用代入消元法把直线 l 的参数方程化为 普通方程即可. （Ⅱ）根据曲线C 的参数方程设出点 P 的坐标，然后结合点到直线的距离公式、三角形面积 公式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题意： 2 2 23 sin 12     2 2 23 12x y y    2 23 4 12x y   2 2 14 3 x y   ，该曲线为椭圆， 曲线C 的参数方程为 2cos 3sin x y     （ 为参数）. 由直线l 的参数方程得 5 35 t y  代入 2 52 5x t  得  2 2 3x y   ， 2 8 0x y    直线 l 的普通方程为 2 8 0x y   . （Ⅱ）设  2cos , 3sinP   到直线l 的距离为 d 1 22PMNS d d   △ - 20 - 4sin 82cos 2 3sin 8 6 5 5 d           4 125 55 5d   PMN△ 面积的取值范围是 4 5 12 5,5 5       . 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考 查了点到直线的距离公式的应用，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力. [选修 4-5 不等式选讲] 23.已知函数   2f x m x   ， mR ，    3g x x  ． （Ⅰ）当 xR 时，有    f x g x ，求实数 m 的取值范围． （Ⅱ）若不等式   0f x  的解集为 1,3 ，正数 a ，b 满足 2 3 1ab a b m    ，求 a b的最 小值． 【答案】（Ⅰ）  ,5m  （Ⅱ） min 7a b  【解析】 【分析】 (I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不 等式求最值即可； (II)由不等式   0f x  的解集为 1,3 可求出 m 的值，代入 2 3 1ab a b m    并用 a 表示 b ，再把b 代入 a b 利用基本不等式求出最小值. 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：    f x g x 在 x R 上恒成立， 2 3m x x     在 x R 上恒成立．  min3 2m x x     ， 又    3 2 2 3 5x x x x        ， 当且仅当   2 3 0x x   ，即  3,2x  时等号成立． 5m  ，即  ,5m  ． - 21 - （Ⅱ）令   0f x  ， 2x m   ， 若 0m  时，解集为，不合题意； 若 0m  时， 2m x m    ，  2 ,2x m m    ，又  1,3x ， 1m  ，综上所述： 1m  ， 2 2ab a b    ， 2 2 1 ab a    0 0 a b     ，解得 1a  ， 2 2 41 31 1 aa b a aa a          ，   42 1 3 71a b a a           ，当且仅当 41 1a a    ，即 3a  时等号成立， 此时 2 2 41 ab a   ．当 3a  ， 4b  时， min 7a b  ． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题. - 22 -