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  • 2021-06-16 发布

专题03 导数及其应用-备战2021年高考数学(理)之纠错笔记系列(原卷版)

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专题 03 导数及其应用 易错点 1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A,B 两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量    1 2W t W t, 与时间 t(天)的关系如图 所示,则一定有 A.两机关单位节能效果一样好 B.A 机关单位比 B 机关单位节能效果好 C.A 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率比 B 机关单位的用电量在 0[0 ]t, 上的平均变化率大 D.A 机关单位与 B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选 C. 因为在(0,t0)上,  1W t 的图象比  2W t 的图象陡峭,所以在(0,t0)上用电量的平均变化率,A 机关单位比 B 机关单位大. 【错因分析】识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢 等要弄清. 【试题解析】由题可知,A 机关单位所对应的图象比较陡峭,B 机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量 在 0[0 ]t, 上的平均变化率都小于 0,故一定有 A 机关单位比 B 机关单位节能效果好.故选 B. 【参考答案】B 1.平均变化率 函数 ( )y f x 从 1x 到 2x 的平均变化率为 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   ,若 2 1x x x   , 2( )y f x   1( )f x ,则平 均变化率可表示为 y x   . 2.瞬时速度 一般地,如果物体的运动规律可以用函数 ( )s s t 来描述,那么,物体在时刻t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到t t  这段时间内,当 t 无限趋近于 0 时, s t   无限趋近的常数. 1.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十 八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从 A 处到 B 处会感觉比 较轻松,而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡峭 程度吗? 【答案】见解析. 易错点 2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点 P(2,8)作曲线 3y x 的切线,则切线方程为 A.12 16 0x y   B.3 2 0x y   C.12 16 0x y   或3 2 0x y   D.12 16 0x y   或3 2 0x y   【错解】设   3f x x ,由定义得 f ′(2)=12, ∴所求切线方程为  8 12 2y x   ,即12 16 0x y   . 【错因分析】曲线过点 P 的切线与在点 P 处的切线不同.求曲线过点 P 的切线时,应注意检验点 P 是否在 曲线上,若点 P 在曲线上,应分 P 为切点和 P 不是切点讨论. 【试题解析】①易知 P 点在曲线 3y x 上,当 P 点为切点时,由上面解法知切线方程为12 16 0x y   . ②当 P 点不是切点时,设切点为 A(x0,y0),由定义可求得切线的斜率为 2 03k x . ∵A 在曲线上,∴ 3 0 0y x ,∴ 3 20 0 0 8 32 x xx   ,∴ 3 2 0 03 4 0x x   , ∴  2 0 01 2 0x x   ,解得 0 1x   或 x0=2(舍去), ∴ 0 1y   ,k=3,此时切线方程为 y+1=3(x+1),即 3 2 0x y   . 故经过点 P 的曲线的切线有两条,方程为12 16 0x y   或3 2 0x y   . 【参考答案】D 1.导数的几何意义 函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数 0( )f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率 k . 2.曲线的切线的求法 若已知曲线过点 0 0( ),P x y ,求曲线过点 P 的切线,则需分点 P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解: (1)当点 0 0( ),P x y 是切点时,切线方程为  0 0 0( )y y f x x x   ; (2)当点 0 0( ),P x y 不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标 P′(x1,f (x1)); 第二步:写出过  1 1( )P x f x , 的切线方程为     1 1 1 y f x f x x x    ; 第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1; 第四步:将 x1 的值代入方程     1 1 1 y f x f x x x    ,可得过点 0 0( ),P x y 的切线方程. 2.过点 e, e 作曲线 exy x  的切线,则切线方程为 A.   21 e ey x    B.   2e 1 ey x   C.  e 1 e 2e 1 ey x    D.  e e 1e 1 ey x    【答案】C 在求曲线  y f x 的切线方程时,要注意区分是求某点处的切线方程,还是求过某点(不在曲线 ( )f x 上) 的切线方程,前者的切线方程为     0 0 0y f x f x x x    ,其中切点   0 0,x f x ,后者一般先设出切 点坐标,再求解. 易错点 3 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数: (1) 2 2( ) 2f x a ax x   ; (2) sin( ) ln x xf x x  . 【错解】(1) 2 2( ) ( 2 ) 2 2f x a ax x a x      ; (2) 2sin ( sin ) sin cos( ) ( ) sin cos1ln (ln ) x x x x x x xf x x x x xx x x        . 【错因分析】(1)求导是对自变量求导,要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是 x,a 是常量;(2)商 的求导法则是:分母平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分 子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 1.导数计算的原则 先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导. 2.导数计算的方法 ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;学科网 ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; 3.若函数  f x 满足    3 21 13f x x f x x    ,则  1f  的值为 A.0 B.2 C.1 D. 1 【答案】A 【解析】    2 2 1 1,f x x f x    令 x=1,则        21 1 2 1 1 1 2 1 , 1 0.f f f f          故答案为 A. (1)要准确记忆导数公式表和导数的运算法则,不要将幂函数 ( )y x  Q 与指数函数 ( 0xy a a  且 1)a  的导数公式, siny x 与 cosy x 的导数, lny x 与 lgy x 的导数及积与商的导数公式记混弄 错. (2)本题中  1f  要将其看作一个常数进行计算,否则无法求解. 易错点 4 区分复合函数的构成特征 求下列函数的导数: (1)  22 1y x  ; (2) 2 2cosy x . 【错解】(1)  22 1y x   ; (2) 2sin 2 xy   . 【错因分析】这是复合函数的导数,若    ,y f u u h x  ,则 x u xy y u     .如(1)中, 2 2, 1y u u x   ,    2 22 2 2 1 2 4 1xy u x x x x x        ,遇到这种类型的函数求导,可先整理再求导,或用复合函数求 导公式求导. 【试题解析】解法一:(1)∵  22 4 21 2 1y x x x     ,∴ 34 4y x x   . (2)∵ 2 2 1 coscos 2 xy x   ,∴ 1 sin2y x   . 解法二:(1)      2 2 22 1 1 4 1y x x x x        . (2) 12cos cos 2cos sin sin2 2 2 2( ) ( ) ( 2 2)x x x x xy x           . 【参考答案】(1)  24 1y x x   ;(2) 1 sin2y x   . 1.求复合函数的导数的关键环节: ①中间变量的选择应是基本函数结构; ②正确分析出复合过程; ③一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; ④善于把一部分表达式作为一个整体; ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2.求复合函数的导数的方法步骤: ①分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量; ②求每一层基本初等函数的导数; ③每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数. 4.曲线 πsin 3y x     在点 30, 2       处的切线方程是__________. 【答案】 2 3 0x y   【解析】 πcos 3y x      ,所以斜率为 π 1cos 0 3 2      ,切线方程为 3 1 , 2 3 0.2 2y x x y     易错点 5 审题不细致误 设函数   2lnaf x ax xx    . (1)若  2 0f   ,求函数 ( )f x 的单调区间; (2)若 ( )f x 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【错解】(1)∵   2 2af x a x x     ,∴  2 1 04 af a     ,∴ 4 5a  . ∴    2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x        , 令   0f x  ,得 2x  或 1 2x  ,令   0f x  ,得 1 22 x  , ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 1 22( ) ( )  , , ,单调递减区间为 1( )2 2, . (2)∵ ( )f x 在定义域上为增函数,∴   0f x  恒成立, ∵   2 2 2 2 2a ax x af x a x x x       ,∴ 2 2 0ax x a   恒成立, ∴ 2 0 4 4 0 a a      ,∴ 1a  ,即实数 a 的取值范围是[1, ) . 【错因分析】错解有多处错误:一是忽视了定义域的限制作用,研究函数一定要注意函数的定义域;二是 将单调区间取并集,函数的单调区间不要随意取并集;三是对不等式恒成立处理不当,对于自变量取值有 限制条件的恒成立问题要和自变量在 R 上取值的恒成立问题加以区分. 【试题解析】(1)由已知得 x>0,故函数 ( )f x 的定义域为(0,+∞). ∵   2 2af x a x x     , ∴  2 1 04 af a     , ∴ 4 5a  . ∴    2 2 2 4 4 2 2 2 5 25 5 5f x x xx x x        , 令   0f x  ,得 2x  或 1 2x  ,令   0f x  ,得 1 22 x  , ∴函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2(  , , , ,单调递减区间为 1( )2 2, . (2)若 ( )f x 在定义域上是增函数,则   0f x  对 x>0 恒成立, ∵   2 2 2 2 2a ax x af x a x x x       , ∴需 x>0 时 2 2 0ax x a   恒成立,即 2 2 1 xa x   对 x>0 恒成立. ∵ 2 2 2 111 x x x x    ,当且仅当 x=1 时取等号, ∴ 1a  ,即实数 a 的取值范围是[1, ) . 【参考答案】(1)函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( )10 2 )2(  , , , ,单调递减区间为 1( )2 2, ;(2)[1, ) . 用导数求函数 ( )f x 的单调区间的“三个方法”: 1.当不等式   0f x  (或   0f x  )可解时, ①确定函数  y f x 的定义域; ②求导数  y f x   ; ③解不等式   0f x  ,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式   0f x  ,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.当方程   0f x  可解时, ①确定函数  y f x 的定义域; ②求导数  y f x   ,令   0f x  ,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 ( )f x 的间断点(即 ( )f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 ( )f x 的定义区间分成若干个小区间; ④确定  f x 在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 3.当不等式   0f x  (或   0f x  )及方程   0f x  均不可解时, ①确定函数  y f x 的定义域; ②求导数并化简,根据  f x 的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定  f x 的符号; ③得单调区间. 5.已知函数   2 lnf x x a x  . (1)若函数  f x 在点   3, 3f 处切线的斜率为 4,求实数 a 的值; (2)求函数  f x 的单调区间; (3)若函数     2 1 ln 22 2 a ag x x f x x        在 1,4 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1)6;(2)见解析;(3) 7 ,16     . 【解析】(1)   2 af x x x   ,而  3 4f   ,即 2 3 43 a   ,解得 6a  . (2)函数  f x 的定义域为 0, . ①当 0a  时,   0f x  ,  f x 的单调递增区间为 0, ; ②当 0a  时,   2 2 22 2 222 a ax x a x af x x x x x              . 当 x 变化时,    ,f x f x 的变化情况如下: 由此可知,函数  f x 的单调递减区间是 20, 2 a      ,单调递增区间是 2 ,2 a     . (3)   21ln 22g x x ax x   ,于是   21 2 12 ax xg x axx x       . 因为函数  g x 在 1,4 上是减函数, 所以   0g x  在 1,4 上恒成立,即 2 2 1 0ax x x    在 1,4 上恒成立. 又因为函数  g x 的定义域为 0, , 所以有 2 2 1 0ax x   在 1,4 上恒成立. 于是有 2 1 2a x x   在 1,4 上恒成立, 设 1t x  ,则 1 14 t  , 所以有  22 2 1 1a t t t     , 1 14 t  , 当 1 4t  时, 21 1t   有最大值 7 16  , 于是要使   0g x  在 1,4 上恒成立,只需 7 16a   ,即实数 a 的取值范围是 7 ,16     . 若 ( )f x 的单调减区间为 ,m n ,则在 ( )x m x n  的两侧函数值异号,且    0( )0f m f n    ; 若 ( )f x 在区间 ,m n 上单调递减,则   0f x  在 ,m n 上恒成立. 易错点 6 极值的概念理解不透彻 已知   3 2 2f x x ax bx a    在 1x  处有极值10,则 a b  ________. 【错解】 7 或 0 由题得, 2( ) 3 2f x x ax b    ,由已知得 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b              解得 4 11 a b     或 3 3 a b     , 所以 a b+ 等于 7 或 0 . 【错因分析】极值点的导数值为 0,但导数值为 0 的点不一定为极值点,错解忽视了“  1 0 1f x    是 f(x)的极值点”的情况. 【试题解析】由题得, 2( ) 3 2f x x ax b    ,由已知得 2(1) 10 1 10, ,(1) 0 2 3 0 f a a b f a b              解得 4 11 a b     或 3 3 a b     ,所以 a b+ 等于 7 或0 . 当 4, 11a b   时, 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x       在 x=1 两侧的符号相反,符合题意. 当 3, 3a b   时, 2( ) 3( 1)f x x   在 x=1 两侧的符号相同,所以 3, 3a b   不合题意,舍去. 综上可知, 4, 11a b   ,所以 7a b   . 【参考答案】 7 对于给出函数极大(小)值的条件,一定既要考虑  0 0f x = ,又要考虑在 0x x 两侧的导数值符号不同,否 则容易产生增根. 1.函数极值的判断:先确定导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号. 2.求函数 ( )f x 极值的方法: ①确定函数 ( )f x 的定义域. ②求导函数  f x . ③求方程   0f x  的根. ④检查  f x 在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么 ( )f x 在这个根处取得极 大值,如果左负右正,那么 ( )f x 在这个根处取得极小值,如果  f x 在这个根的左右两侧符号不变,则 ( )f x 在这个根处没有极值.学!科网 3.利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数  f x ,求方程   0f x  的根的情况,得关 于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围. 6.若函数    2 3 exf x x ax   在 0, 内有且仅有一个极值点,则实数 a 的取值范围是 A. , 2 2   B. , 2 2  C. , 3  D. , 3  【答案】C (1) ( )f x 在 0x x 处有极值时,一定有  0 0f x  ,  0f x 可能为极大值,也可能为极小值,应检验 ( )f x 在 0x x 两侧的符号后才可下结论; (2)若  0 0f x  ,则 ( )f x 未必在 0x x 处取得极值,只有确认 1 0 2x x x  时,    1 2 0f x f x  ,才 可确定 ( )f x 在 0x x 处取得极值. (3)在本题中,不要遗漏掉 3a   这种特殊情况. 易错点 7 被积函数与积分上、下限确定不准致误 由抛物线  2 8 0y x y  与直线 6 0x y   及 y=0 所围成图形的面积为 A. 32 216 3  B. 32 216 3  C. 40 3 D.14 3 【错解】D 由  2 8 0y x y  得 8y x ,由 6 0x y   得 6y x  , 由 2 8 6 0 y x x y       得 2 4 x y    或 18 12 x y     (舍去). ∴所求面积 2 0 6 8( )dS x x x    3 22 2 0 1 1 146 82 12 | 3[ ]x x x    ,故选 D. 【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系,没有弄清平面图形的形状,以致弄错被积函数和积 分区间致误. 【试题解析】由题意,所围成平面图形如图所示, 由 2 8 6 0 y x x y       得 2 4 x y    或 18 12 x y     (舍去),所以抛物线  2 8 0y x y  与直线 6 0x y   的交点坐 标为(2,4), 方法一:(选 y 为积分变量) 2 4 0 4 2 3 0 1 1 1 1 406 d 6 24 8 648 2 24 24( 3( ) ) |S y y y y y y           . 方法二:(选 x 为积分变量) 32 6 22 0 2 6 0 22 2 1d 6 d 8( 8 ) ( ) | 6 2 )3 ( |S xx x x x x x        2 216 1 1 406 6 6 6 2 23 2 ) ( )]2[( 3          . 【参考答案】C 用定积分求较复杂的平面图形的面积时: 一要根据图形确定 x 还是 y 作为积分变量,同时,由曲线交点确定好积分上、下限; 二要依据积分变量确定好被积函数,积分变量为 x 时,围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数, 积分变量为 y 时,围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数; 三要找准原函数. 1.利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形; ②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; ④计算定积分,写出答案. 2.定积分与曲边梯形的面积的关系 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形 来确定: 设阴影部分面积为 S,则 (1)  db a S f x x  ; (2)  db a S f x x  ; (3)    d dc b a c S f x x f x x   ; (4)        d d [ ]db b b a a a S f x x g x x f x g x x      . 7.如图,若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为 A. 21 π  B. 2 π C. 2 2 π D. 2 21 π  【答案】A 【解析】 π 1 πS   矩形 ,又  π π 00 sin d cos | cosπ cos0 2x x x      , π 2S  阴影 ,豆子落在图中阴影部分的概率为 π 2 21π π    . 故选 A. 在利用定积分求曲边梯形的面积时,要注意结合图形分析,否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题 主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”, 否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义,即由直线 x a ,x b , 0y  和曲 线  y f x 所围成的曲边梯形的面积是  db a f x x . 一、导数的概念及计算 1.导数的定义: 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x y f x+ x f xf x x x          . 2.导数的几何意义:函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数  0f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线 的斜率 k ,即 0( )k f x . 求曲线 ( )y f x 的切线方程的类型及方法 (1)已知切点  0 0,P x y ,求 ( )y f x 过点 P 的切线方程:求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率为 k,求 ( )y f x 的切线方程:设切点  0 0,P x y ,通过方程  0k f x  解得 x0,再 由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求 ( )y f x 的切线方程:设切点  0 0,P x y ,利用导数求得切线斜率  0f x , 再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,最后由点斜式或两点式写出方程. (4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的斜率, 再由  0k f x  求出切点坐标 0 0,x y ,最后写出切线方程. (5)①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线, P 一定在曲线上. ②过点 P 的切线即切线过点 P ,P 不一定是切点.因此在求过点 P 的切线方程时,应首先检验点 P 是 否在已知曲线上. 3.基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C 为常数) ( )f x =0 *( )= ( )nf x x n N 1 *( )= ( )nf x nx n N f (x)=sin x ( )=cosf x x f (x)=cos x ( )= sinf x x  ( ) ( 0 1)xf x a a > a 且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a  且 ( ) exf x  ( ) exf x  ( ) log ( 0 1)af x x a a  且 1( ) = ( 0 1) ln f x a a x a   且 f (x)=ln x 1( )=f x x  4.导数的运算法则 (1)        u x v x u x v x     = . (2)            ·u x v x u x v x u x v x    = + . (3) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) u x u x v x u x v x v xv x v x     . 5.复合函数的导数 复合函数   y f g x 的导数和函数    y f u u g x , 的导数间的关系为 x u xy y u    ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 二、导数的应用 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,在某个区间(a,b)内: ①如果 ( ) 0f x  ,函数 f (x)在这个区间内单调递增; ②如果 ( ) 0f x  ,函数 f (x)在这个区间内单调递减; ③如果 ( )=0f x ,函数 f (x)在这个区间内是常数函数. (1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号; (2)在某个区间内, ( ) 0f x  ( ( ) 0f x  )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是必要条 件.例如,函数 3( )f x x 在定义域 ( , )  上是增函数,但 2( ) 3 0f x x   . (3)函数 ( )f x 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( ) 0f x  ( ( ) 0f x  )在(a,b)内恒成立,且 ( )f x 在(a,b) 的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说,在区间内的个别点处有 ( ) 0f x  ,不影响函数 ( )f x 在区间内 的单调性. 2.函数的极值与导数的关系 一般地,对于函数 ( )y f x , ①若在点 x= a 处有 f ′(a)= 0,且在点 x= a 附近的左侧 ( ) 0f ' x  ,右侧 ( ) 0f ' x  ,则称 x= a 为 f(x)的极 小值点; ( )f a 叫做函数 f (x)的极小值. ②若在点 x=b 处有 ( )f ' b =0,且在点 x=b 附近的左侧 ( ) 0f ' x  ,右侧 ( ) 0f ' x  ,则称 x= b 为 f(x)的极 大值点, ( )f b 叫做函数 f (x)的极大值. ③极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值. 3.函数的最值与极值的关系 ①极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言; ②在函数的定义区间[ , ]a b 内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者 没有); ③函数 f (x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点; ④对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 求函数 ( )y f x 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数 ( )y f x 在(a,b)内的极值; ②将函数 ( )y f x 的各极值与端点处的函数值 f (a),f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是 最小值. 三、定积分与微积分基本定理 1.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数 f (x)在区间[a,b]上连续,用分点 0 1 1i i na x x x x x b         将区间[a,b]等分 成 n 个小区间,在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点  1,2, ,i i n   ,作和式 1 1 ( ) ( ) n n i i i i b af x fn        ; 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 ( )db a f x x , 即 ( )db a f x x = 1 lim ( ) n in i b a fn     . (2)在 ( )db a f x x 中,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 ( )f x 叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f (x)dx 叫做被积式. 2.定积分的性质 (1)    d db b a a kf x x k f x x  (k 为常数); (2) [ ( ) ( )]d ( )d ( )db b b a a a f x g x x f x x g x x     ; (3) ( )d = ( )d + ( )db c b a a c f x x f x x f x x   (其中 a