人教新课标A版数学高三高考数学复习 概率与统计 5页

第 1 页 共 5 页 概率 考试内容： 随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发 生的概率．独立重复试验． 考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率． （4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率． §11. 概率概率 知识要点知识要点 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能 性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那 么事件 A 的概率 n mP(A)  . 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)，推广： )P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21   . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从 1～52 张扑克牌中任 取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不 能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事 件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于 1： 1)AP(A)AP(P(A)  . ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P（AB）等于这两个事件发 生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52 张）中任抽 一张设 A：“抽到老 K”；B：“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系 很有可能不是独立事件，但 26 1P(B)P(A),2 1 52 26P(B),13 1 52 4P(A)  .又事件 AB 表示“既 抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 26 1 52 2B)P(A  ，因此有 )BP(AP(B)P(A)  . 推广：若事件 n21 ,A,,AA  相互独立，则 )P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21   . 第 2 页 共 5 页 注意：i. 一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 AB, 与 B， A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多 个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果， 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率： knkk nn P)(1PC(k)P  . 4. 对任何两个事件都有 )()()()( BAPBPAPBAP  第十二章-概率与统计 考试内容： 抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求： （1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差． §12. 概率与统计 知识要点知识要点 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b 是常数.则 ba   也是一个随机 变量.一般地，若ξ是随机变量， )(xf 是连续函数或单调函数，则 )(f 也是随机变量.也就 是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：  ,,,, 21 ixxx ξ取每一个值 ),2,1(1 ix 的概率 ii pxP  )( ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的 分布列.  1x 2x … ix … P 1p 2p … ip … 有性质① ,2,1,01  ip ； ② 121   ippp . 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： ]5,0[ 即 可以取 0～5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生 k 次的概率是： knkk n qpCk)P(ξ  [其中 pqnk  1,,,1,0  ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ～B 第 3 页 共 5 页 （n·p），其中 n，p 为参数，并记 p)nb(k;qpC knkk n  . ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且 每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有 两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验 时事件 A 发生记为 kA ，事 A 不发生记为 q)P(A,A kk  ，那么 )AAAAP(k)P(ξ k1k21   .根 据相互独立事件的概率乘法分式： ))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξ k1k21   ),3,2,1(1   kpq k 于是 得到随机变量ξ的概率分布列.  1 2 3 … k … P q qp pq2 … pq 1k … 我们称ξ服从几何分布，并记 pqp)g(k, 1k ，其中 3,2,1.1  kpq 5. ⑴超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（M＜N）件次品，今抽取 )Nnn(1  件， 则 其 中 的 次 品 数 ξ 是 一 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为 )MNknM,0k(0 C CCk)P(ξ n N kn MN k M    .〔分子是从 M 件次品中取 k 件，从 N-M 件正品 中取 n-k 件的取法数，如果规定 m ＜ r 时 0C r m  ，则 k 的范围可以写为 k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1≤n≤a+b）， 则次品数ξ的分布列为 n.,0,1,k C CCk)P(ξ n ba kn b k a    . ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 ba  个产品编号，则抽取 n 次共 有 nba )(  个 可 能 结 果 ， 等 可 能 ： k)(η  含 knkk n baC  个 结 果 ， 故 n,0,1,2,k,)ba a(1)ba a(C b)(a baCk)P(η knkk nn knkk n      ，即 ～ )( ba anB  .[我们先为 k 个次 品选定位置，共 k nC 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法] 可 以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， k)P(ηk)P(ξ  ，因此二项分布可作为超几 何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为  1x 2x … ix … P 1p 2p … ip … 第 4 页 共 5 页 则称   nn pxpxpxE 2211 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数 学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 ba   的数学期望： baEbaEE   )( ①当 0a 时， bbE )( ，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 1a 时， bEbE   )( ，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数 的和. ③当 0b 时，  aEaE )( ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的 乘积. ⑵单点分布： ccE  1 其分布列为： cP  )1( . ⑶两点分布： ppqE  10 ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：    npqpknk nkE knk )!(! ! 其分布列为 ～ ),( pnB .（P 为发生 的概率） ⑸几何分布： pE 1 其分布列为 ～ ),( pkq .（P 为发生 的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为 ),2,1()(  kpxP kk 时，则称   nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 )()()(  为ξ的方差. 显然 0D ，故  .D 为ξ的 根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中 与离散的程度. D 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质. ⑴随机变量 ba   的方差  DabaDD 2)()(  .（a、b 均为常数） ⑵单点分布： 0D 其分布列为 pP  )1( ⑶两点分布： pqD  其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： npqD  ⑸几何分布： 2p qD  5. 期望与方差的关系. ⑴如果 E 和 E 都存在，则  EEE  )( ⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则  DDDEEE  )(,)( ⑶期望与方差的转化： 22 )(  EED  ⑷ )()()(  EEEEE  （因为 E 为一常数） 0  EE . 三、正态分布.（基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于 x 轴上方，ξ落在任一区间 ),[ ba 内 的概率等于它与 x 轴.直线 ax  与直线 bx  所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数 )(xf 叫做ξ的密度函数，由于“ ),( x ” 是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为： 2 2 2 )( 2 1)(      x exf . ξ 0 1 P q p ξ 0 1 P q p ▲ y x a b y=f(x) 第 5 页 共 5 页 （ ,,Rx 为常数，且 0 ），称ξ服从参数为 , 的正态分布，用 ～ ),( 2N 表示. )(xf 的表达式可简记为 ),( 2N ，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若 ～ ),( 2N ，则ξ的期望与方差分别为： 2,   DE . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x 对称. ③当 x 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、 两边低”的钟形曲线. ④当 x ＜  时，曲线上升；当 x ＞  时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时， 以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近. ⑤当  一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；  越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为 )( 2 1)( 2 2    xex x   ，则称ξ 服从标准正态分布. 即 ～ )1,0(N 有 )()( xPx   ， )(1)( xx   求出，而 P（a＜ ξ ≤b） 的计算则是 )()()( abbaP   . 注意：当标准正态分布的 )(x 的 X 取 0 时，有 5.0)(  x 当 )(x 的 X 取大于 0 的数时，有 5.0)( x .比如 5.00793.0)5.0(    则  5.0 必然小于 0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～ ),( 2N 则ξ的分布函数通 常用 )(xF 表示，且有 )σ μx(F(x)x)P(ξ   . 4.⑴“3 ”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假 设里的变量服从正态分布 ),( 2N .②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 )3,3(   . ③做出判断：如果 )3,3(  a ，接受统计假设. 如果 )3,3(  a ，由于这是小 概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布 ),( 2N 则 ξ落在 )3,3(   内的 概率为 99.7％ 亦即落在 )3,3(   之外的概率为 0.3％，此为小概率事件，如果此事 件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. ▲ x y a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S S