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- 2021-06-16 发布
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专题 12 概率
易错点 1 忽略概率加法公式的应用前提致错
某商店日收入(单位:元)在下列范围内的概率如下表所示:
日收入 [1000, 1500) [1500,2000) [2000, 2500) [2500, 3000)
概率 0.12 a b 0.14
已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为 0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.
【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为
A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为 B+C+D,所以 P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.
【错因分析】误用 P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中 P(A)+P(B)+P(C)+P(D)≠1,故事件 A 与事件 B+C+D
并不是对立事件.
【试题解析】因为事件 A,B,C,D 互斥,且 P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以 P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
在应用概率加法公式时,一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件 A,B,有
( ) ( ) ( )P A B P A P B ,只有当事件 A,B 互斥时,等号才成立.
1.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 1
3
,得到黑球
或黄球的概率为 5
12
,得到黄球或绿球的概率也是 5
12
,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
【答案】得到黑球的概率为 1
4
,得到黄球的概率为 1
6
,得到绿球的概率为 1
4
.
【解析】从袋中任取一球,记事件 A={得到红球},事件 B={得到黑球},事件 C={得到黄球},事件 D
={得到绿球},
2
则有
1 ,3
5 ,12
5 ,12
21 ,3
P A
P B C P B P C
P C D P C P D
P B C D P A
解得 P(B)= 1
4
,P(C)= 1
6
,P(D)= 1
4 .
所以得到黑球的概率为 1
4
,得到黄球的概率为 1
6
,得到绿球的概率为 1
4
.
【名师点睛】本题主要考查了等可能事件的概率,考查了互斥事件的概率加法公式,关键是明确互斥事
件和的概率等于概率的和,属于中档试题,着重考查了分析问题和解答问题的能力.分别以 , , ,A B C D 表
示事件:从袋中任取一球“摸到红球”,“摸到黄球”,“摸到绿球”,则由题意得到三个和事件的概率,求
解方程组,即可得到答案.
易错点 2 混淆“等可能”与“非等可能”
从 5 名男生和 3 名女生中任选 1 人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.
【错解】从 8 人中选出 1 人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为 .
【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.
【试题解析】选出 1 人的所有可能的结果有 8 种,即共有 8 个基本事件,其中选中女生的基本事件有 3 个,故选
中女生的概率为 .
利用古典概型的概率公式求解时,注意需满足两个条件:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)试验的每
个基本事件是等可能发生的.
3
2.掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面向上的概率是
A. 1
999
B. 1
1000
C. 999
1000
D. 1
2
【答案】D
【解析】投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为 1
2
,它不因抛掷的次数而变化,因此抛掷一次正面向上
的概率为 1
2
,抛掷第 999 次正面向上的概率还是 1
2
.
故选 D.
【名师点睛】本题主要考查了概率的基本概念及应用,其中熟记随机事件的概率的基本概念是解答的关
键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.由题意投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率
为 1
2
,它不因抛掷的次数而变化,即可得到答案.
错点 3 几何概型中测度的选取不正确
在等腰直角三角形 ABC 中,直角顶点为 C.
(1)在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM