2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（十二）“解析几何”专题提能课 9页

课时达标训练(十二) “解析几何”专题提能课 A组 ‎1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．‎ 解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sin α＝，因为0≤α<π，‎ 所以cos α＝±＝±，所以tan α＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.‎ 答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0‎ ‎2．(2019·南京四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点在直线l：x＋y－4＝0上，且双曲线的一条渐近线与直线l垂直，则该双曲线的方程为________．‎ 解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，因为直线l与y轴的交点坐标为(0，4)，所以双曲线的焦点坐标为(0，±4)，即c＝ ＝4.又直线l的斜率为－，直线l与双曲线的一条渐近线垂直，所以＝，所以可得a2＝4，b2＝12，故该双曲线的方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎3．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线－＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．‎ 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为AF＝5，所以点A到抛物线的准线的距离也为5，所以A(4，4)或A(4，－4)，又点A在双曲线上，所以－＝1，得b＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎4．若关于x的方程 ＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．‎ 解析：作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1‎ ‎，它是过点A(1，1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.‎ 答案： ‎5．(2019·姜堰中学模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0，a>1)的离心率e＝，右顶点到直线ax＋by＝1的距离为1，过点P(0，2)的直线l交椭圆C于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设M为AB的中点，连接OM并延长交椭圆C于点N，若＝，求直线AB的方程；‎ ‎(3)若直线OB交椭圆C于另一点Q，求△ABQ面积的最大值．‎ 解：(1)∵离心率e＝，∴＝，＝，得＝.‎ 设椭圆C的右顶点(a，0)到直线ax＋by＝1的距离为d，‎ 则d＝＝1，‎ 将a2＝3b2代入上式得，d＝＝1，得b＝1，a＝或b＝，a＝.‎ ‎∵a>1，∴a＝，b＝1.‎ 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)显然过点P的直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l的斜率为k(k≠0)，‎ 则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)．‎ 由 消去y并整理得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，‎ 由Δ＝144k2－36(1＋3k2)＝36(k2－1)>0，得k2>1.‎ 设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x3，y3)，‎ 则x1，2＝.‎ ‎∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝k·＋2＝.‎ ‎∵＝，∴ 即 ‎∵点N(x3，y3)在椭圆上，∴＋y＝1，即4x＋12y＝3，‎ 即4＋12＝3，整理得3k4－14k2－5＝0，‎ 解得k＝±.故直线AB的方程为y＝±x＋2.‎ ‎(3)连接AO，由椭圆的对称性可知，BO＝OQ，‎ 则S△ABQ＝2S△AOB.‎ 设点O到直线AB的距离为h，‎ 由(2)得AB＝·＝，h＝，‎ ‎∴S△AOB＝AB×h＝××＝，‎ ‎∴S△ABQ＝2S△AOB＝.‎ 令t＝，则t>0，k2＝t2＋1，‎ S△ABQ＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，k2＝，‎ 即k＝±时等号成立，‎ ‎∴(S△ABO)max＝.‎ B组 ‎1．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．‎ 解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.‎ 由|AB|＝2得＋()2＝12，解得m＝－.又直线l 的斜率为－m＝，‎ 所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.‎ 答案：4‎ ‎2.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．‎ 解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，‎ 则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，‎ 可得＝3，故 即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.‎ 答案：x2＋y2＝1‎ ‎3．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．‎ 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，右焦点F(c，0)，根据对称性，不妨设平行线方程为y＝(x－c)，易知它与另一条渐近线y＝－x交于点P.所以线段PF的中点坐标为，代入双曲线的方程得－＝1，即c2＝2a2，所以双曲线的离心率e＝＝.‎ 答案： ‎4．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________. ‎ 解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2，x＝，‎ 有－a≤≤a，‎ 不等式各边同除以a，得－1≤≤1，‎ 则－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，‎ 又0b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为.求椭圆E的标准方程；‎ ‎ ‎ 解：设椭圆的半焦距为c，由已知得，‎ ＝，－c＝，c2＝a2－b2，‎ 解得a＝2，b＝1，c＝，‎ ‎∴椭圆E的标准方程是＋y2＝1.‎ C组 ‎1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ 解析：易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.‎ 答案：5‎ ‎2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．‎ 解析：如图所示，由题意得 A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．‎ 设E(0，m)，‎ 由PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝.①‎ 又由OE∥MF，得＝，‎ 则|MF|＝.②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.‎ 答案： ‎3．设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ 答案：[－1，1]‎ ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为________．‎ 解析：在△MF1F2中，＝，‎ 而＝，‎ ‎∴＝＝.①‎ 又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，‎ ‎∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②‎ 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.‎ 显然|MF2|>|MF1|，‎ ‎∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)经过点P，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若椭圆C上存在两点Q，R，使得△PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O，试求直线QR的方程．‎ 解：(1)由题意，得 得所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，‎ 连接PO，QO(图略)，因为QR⊥PO，且kPO＝，所以kQR＝－，‎ 故可设直线QR的方程为y＝－x＋m.‎ 联立，得消去y，得5x2－4mx＋2m2－4＝0.‎ 由Δ>0得32m2－20(2m2－4)>0，得m2<10.(*)‎ 则x1，2＝，所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 又QO⊥PR，所以kQO·kPR＝－1，得·＝－1，‎ 即·＝－1，‎ 整理得，3x1x2－m(x1＋x2)＋m2－m＝0，‎ 所以3×－m×＋m2－m＝0，‎ 即3m2－5m－12＝0，解得m＝3或m＝－(均适合(*)式)．‎ 当m＝3时，直线QR恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去．‎ 所以直线QR的方程为y＝－x－.‎ ‎6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．‎ ‎(1)求证：A，C，T三点共线；‎ ‎(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．‎ 解：(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①‎ 则A(0，b)，B(0，－b)，T，设直线AT与BF交于C′‎ AT：＋＝1，②‎ BF：＋＝1，③‎ 联立②③，解得交点C′，代入①得：‎ ＋＝＝1.‎ 满足①式，则C′点在椭圆上，∴A，C′，T共线，C′与C重合，A，C，T三点共线．‎ ‎(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E(图略)，则△OBF∽△ECF.‎ ‎∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得：‎ ＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.‎ 设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2，‎ 此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，‎ 直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，‎ 点P到直线AC的距离为 d＝＝，‎ S△APC＝d·AC＝··c＝·c.‎ 只需求x0＋2y0的最大值．‎ ‎∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2，‎ ‎∴x0＋2y0≤c，‎ 当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.‎ ‎∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，‎ 此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标.‎