高中数学解析几何突破 30页

五、解析几何 一、选择题 1.（重庆理 8）在圆 06222  yxyx 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD的面积为 A． 25 B． 210 C．15 2 D． 220 【答案】B 2.（浙江理 8）已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a b a b   ＞ ＞ 与双曲线 2 2 1 : 1 4 yC x   有公共的焦点， 1C 的一条渐近线与以 1C 的长轴为直径的圆相交于 ,A B两点，若 1C 恰好将线段 AB三等分， 则 A． 2 13 2 a  B． 2 13a  C． 2 1 2 b  D． 2 2b  【答案】C 3.（四川理 10）在抛物线 2 5( 0)y x ax a   ≠ 上取横坐标为 1 4x   ， 2 2x  的两点，过 这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 2 25 5 36x y  相切，则 抛物线顶点的坐标为 A． ( 2, 9)  B． (0, 5) C． (2, 9) D． (1, 6) 【答案】C 【 解 析 】 由 已 知 的 割 线 的 坐 标 ( 4,11 4 ), (2, 2 1), 2a a K a     , 设 直 线 方 程 为 ( 2)y a x b   ，则 2 2 36 5 1 (2 ) b a    又 2 5 6 4 ( 2, 9) ( 2) y x ax b a y a x b                4.（陕西理 2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x   ，则抛物线的方程是 A． 2 8y x  B． 2 8y x C． 2 4y x  D． 2 4y x 【答案】B 5. （ 山 东 理 8 ） 已 知 双 曲 线 2 2 2 2 1( 0 b 0)x y a a b   ＞ ， ＞ 的 两 条 渐 近 线 均 和 圆 C: 2 2 6 5 0x y x    相切,且双曲线的右焦点为圆 C的圆心,则该双曲线的方程为 A． 2 2 1 5 4 x y   B． 2 2 1 4 5 x y   C． 2 2 1 3 6 x y   D． 2 2 1 6 3 x y   【答案】A 6.（全国新课标理 7）已知直线 l过双曲线 C的一个焦点，且与 C的对称轴垂直，l与 C交 于 A，B两点， | |AB 为 C的实轴长的 2倍，C的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C） 2 （D） 3 【答案】B 7.（全国大纲理 10）已知抛物线 C： 2 4y x 的焦点为 F，直线 2 4y x  与 C交于 A，B 两点．则 cos AFB = A． 4 5 B． 3 5 C． 3 5  D． 4 5  【答案】D 8.（江西理 9）若曲线 1C ： 2 2 2 0x y x   与曲线 2C ： ( ) 0y y mx m   有四个不同的 交点，则实数 m的取值范围是 A．（ 3 3  ， 3 3 ） B．（ 3 3  ，0）∪（0， 3 3 ） C．[ 3 3  ， 3 3 ] D．（， 3 3  ）∪（ 3 3 ，+） 【答案】B 9.（湖南理 5）设双曲线   2 2 2 1 0 9 x y a a    的渐近线方程为3 2 0x y  ，则 a的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 10.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线 2 2 ( 0)y px p  上，另一个顶点是此抛物线焦点的正 三角形个数记为 n，则 A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3 【答案】C 11.（福建理 7）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足 1 1 2 2: :PF FF PF =4:3:2，则曲线 r的离心率等于 A． 1 3 2 2 或 B． 2 3 或 2 C． 1 2 或 2 D． 2 3 3 2 或 【答案】A 12.（北京理 8）设  0,0A ,  4,0B ，  4,4C t  ,   , 4D t t R .记  N t 为平行四边形 ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数  N t 的值域为 A． 9,10,11 B． 9,10,12 C． 9,11,12 D． 10,11,12 【答案】C 13.（安徽理 2）双曲线 82 22  yx 的实轴长是 （A）2 （B） 2 2 （C） 4 （D）4 2 【答案】C 14.（辽宁理 3）已知 F是抛物线 y2=x 的焦点，A，B是该抛物线上的两点， =3AF BF ， 则线段 AB的中点到 y轴的距离为 （A） 3 4 （B）1 （C） 5 4 （D） 7 4 【答案】C 二、填空题 15.（湖北理 14）如图，直角坐标系 xOy所在的平面为 ，直角坐标系 ' 'xOy （其中 'y 轴一 与 y 轴重合）所在的平面为  ， ' 45xOx  。 （Ⅰ）已知平面  内有一点 ' (2 2,2)P ，则点 'P 在平面 内的射影 P的 坐标为 ； （Ⅱ）已知平面  内的曲线 'C 的方程是 ' 2 '2( 2) 2 2 0x y    ，则曲线 'C 在平面 内 的射影C的方程是 。 【答案】（2，2） 2 2( 1) 1x y   16.（浙江理 17）设 1 2,F F 分别为椭圆 2 2 1 3 x y  的左、右焦点，点 ,A B在椭圆上，若 1 25F A F B   ;则点 A的坐标是 ． 【答案】 (0, 1) 17.（上海理 3）设 m 为常数，若点 (0,5)F 是双曲线 2 2 1 9 y x m   的一个焦点，则 m  。 【答案】16 18.（江西理 14）若椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的焦点在 x轴上，过点（1， 1 2 ）作圆 2 2+ =1x y 的切线， 切点分别为 A,B，直线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】 2 2 1 5 4 x y   19.（北京理 14）曲线 C是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F¬2（1，0）的距离的积等于 常数 )1(2 aa 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线 C过坐标原点； ② 曲线 C关于坐标原点对称； ③若点 P在曲线 C上，则△F 1PF 2 的面积大于 2 1 a 2 。 其中，所有正确结论的序号是 。 【答案】②③ 20.（四川理 14）双曲线 2 2x y =1 P 4 64 36  上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点 P 到 左准线的距离是 ． 【答案】 56 5 【解析】 8, 6, 10a b c   ，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为 14，所以 14 5 56 4 5 c d d a     21.（全国大纲理 15）已知 F1、F2分别为双曲线 C: 2 9 x - 2 27 y =1的左、右焦点，点 A∈C， 点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 【答案】6 22.（辽宁理 13）已知点（2，3）在双曲线 C： )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 上，C的焦距为 4， 则它的离心率为 ． 【答案】2 23.（重庆理 15）设圆 C位于抛物线 2 2y x 与直线 x=3所围成的封闭区域（包含边界）内， 则圆 C的半径能取到的最大值为__________ 【答案】 6 1 24.（全国新课标理 14）（14） 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点 1 2,F F 在 x轴上，离心率为 2 2 ．过点 1F 的直线 l交 C于 A，B两点，且 2ABF 的周长为 16，那 么 C的方程为_________． 【答案】 2 2 1 16 8 x y   25.（安徽理 15）在平面直角坐标系中，如果 x与 y 都是整数，就称点 ( , )x y 为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k与b都是无理数，则直线 y kx b  不经过任何整点 ③直线 l经过无穷多个整点，当且仅当 l经过两个不同的整点 ④直线 y kx b  经过无穷多个整点的充分必要条件是： k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①，③，⑤ 三、解答题 26.（江苏 18）如图，在平面直角坐标系 xOy中，M、N分别是椭圆 1 24 22  yx 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于 P、A两点，其中 P在第一象限，过 P作 x轴的垂线，垂足为 C， 连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA的斜率为 k （1）当直线 PA平分线段MN，求 k的值； （2）当 k=2时，求点 P到直线 AB的距离 d； （3）对任意 k>0，求证：PA⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离 等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16分. 解：（1）由题设知， ),2,0(),0,2(,2,2  NMba 故 所以线段 MN 中点的坐标为 ) 2 2,1(  ，由于直线 PA平分线段MN，故直线 PA 过线段MN 的中点，又直线 PA 过坐 标原点，所以 . 2 2 1 2 2    k （2）直线 PA的方程 2 2 2 1, 4 2 x y y x  代入椭圆方程得 解得 ). 3 4, 3 2(), 3 4, 3 2(, 3 2  APx 因此 于是 ),0, 3 2(C 直线 AC的斜率为 .0 3 2,1 3 2 3 2 3 40    yxAB的方程为故直线 . 3 22 11 | 3 2 3 4 3 2| , 21    d因此 （3）解法一： 将直线 PA的方程 kxy  代入 2 2 2 2 2 21, , , 4 2 1 2 1 2 x y x k k       解得 记 则 )0,(),,(),,(  CkAkP 于是 故直线 AB的斜率为 , 2 0 kk      其方程为 ,0)23(2)2(),( 2 22222  kxkxkxky  代入椭圆方程得 解得 2 2 3 2 2 2 (3 2) (3 2) ( , ) 2 2 2 k k k x x B k k k             或 因此 . 于是直线 PB的斜率 .1 )2(23 )2( 2 )23( 2 22 23 2 2 2 3 1 kkk kkk k k k k k k             因此 .,11 PBPAkk  所以 解法二： 设 )0,(),,(,,0,0),,(),,( 11121212211 xCyxAxxxxyxByxP 则 . 设直线 PB，AB的斜率分别为 21,kk 因为 C在直线 AB上，所以 . 22)( )(0 1 1 11 1 2 k x y xx yk     从而 1 )( )(2121 12 12 12 12 211        xx yy xx yykkkk .044)2(122 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2           xxxx yx xx yy 因此 .,11 PBPAkk  所以 27.（安徽理 21）设  ，点 A的坐标为（1,1），点 B在抛物线 y x 上运动，点Q满 足 QABQ  ，经过Q点与M x轴垂直的直线交抛物线于点M ，点 P满足 MPQM  , 求点 P的轨迹方程。 本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识， 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由 MPQM  知 Q，M，P三点在同一条垂直于 x轴的直线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,( 2 0 2 0 22 0 yxyxyyxxxMyxQyxP   则则 ① 再设 ),1,1().(,),,( 010111 yxyyxxQABQyxB   即由 解得      .)1( ,)1( 01 1   yy xx ② 将①式代入②式，消去 0y ，得      .)1()1( ,)1( 22 1 1   yxy xx ③ 又点 B在抛物线 2xy  上，所以 2 11 xy  ，再将③式代入 2 11 xy  ，得 .012),1(,0 .0)1()1()1(2 ,)1(2)1()1()1( ,))1(()1()1( 22222 222     yx yx xxyx xyx 得两边同除以因     故所求点 P的轨迹方程为 .12  xy 28. （北京理 19） 已知椭圆 2 2: 1 4 xG y  .过点（m,0）作圆 2 2 1x y  的切线 I交椭圆 G于 A，B两点. （I）求椭圆 G的焦点坐标和离心率； （II）将 AB 表示为 m的函数，并求 AB 的最大值. （19）（共 14分） 解：（Ⅰ）由已知得 ,1,2  ba 所以 .322  bac 所以椭圆 G的焦点坐标为 )0,3(),0,3( 离心率为 . 2 3  a ce （Ⅱ）由题意知， 1|| m . 当 1m 时，切线 l的方程 1x ，点 A、B的坐标分别为 ), 2 3,1(), 2 3,1(  此时 3|| AB 当 m=－1时，同理可得 3|| AB 当 1|| m 时，设切线 l的方程为 ),( mxky  由 0448)41( .1 4 ),( 22222 2 2         mkmxkxk y x mxky 得 设 A、B两点的坐标分别为 ),)(,( 2211 yxyx ，则 2 22 212 2 21 41 44, 41 8 k mkxx k mk xx      又由 l与圆 .1,1 1 ||,1 222 2 22    kkm k kmyx 即得相切 所以 2 12 2 12 )()(|| yyxxAB  ] 41 )44(4 )41( 64)[1( 2 22 22 4 2 k mk k mkk       . 3 ||34 2   m m 由于当 3m 时， ,3|| AB 所以 ),1[]1,(, 3 ||34|| 2    m m mAB . 因为 ,2 || 3|| 34 3 ||34|| 2      m mm mAB 且当 3m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2. 29.（福建理 17）已知直线 l：y=x+m，m∈R。 （I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线 l相切与点 P，且点 P在 y轴上，求该圆的方程； （II）若直线 l关于 x轴对称的直线为 l，问直线 l与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13分。 解法一： （I）依题意，点 P的坐标为（0，m） 因为MP l ，所以 0 1 1 2 0 m     ， 解得 m=2，即点 P的坐标为（0，2） 从而圆的半径 2 2| | (2 0) (0 2) 2 2,r MP      故所求圆的方程为 2 2( 2) 8.x y   （II）因为直线 l的方程为 ,y x m  所以直线 'l 的方程为 .y x m   由 2 2 ' , 4 4 0 4 y x m x x m x y        得 24 4 4 16(1 )m m      （1）当 1, 0m   即 时，直线 'l 与抛物线 C相切 （2）当 1m  ，那 0  时，直线 'l 与抛物线 C不相切。 综上，当 m=1时，直线 'l 与抛物线 C相切； 当 1m  时，直线 'l 与抛物线 C不相切。 解法二： （I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为 2 2( 2) .x y r   依题意，所求圆与直线 : 0l x y m   相切于点 P（0，m）， 则 2 24 , | 2 0 | , 2 m r m r        解得 2, 2 2. m r    所以所求圆的方程为 2 2( 2) 8.x y   （II）同解法一。 30.（广东理 19） 设圆 C与两圆 2 2 2 2( 5) 4, ( 5) 4x y x y      中的一个内切，另一个外切。 （1）求 C的圆心轨迹 L的方程; （2）已知点M 3 5 4 5( , ), ( 5,0) 5 5 F ，且 P为 L上动点，求 MP FP 的最大值及此时 点 P的坐标． （1）解：设 C的圆心的坐标为 ( , )x y ，由题设条件知 2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y      化简得 L的方程为 2 2 1. 4 x y  （2）解：过M，F的直线 l方程为 2( 5)y x   ，将其代入 L的方程得 215 32 5 84 0.x x   解得 1 2 1 2 6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ), ( , ). 5 15 5 5 15 15 x x l L T T  故 与 交点为 因 T1在线段MF 外，T2在线段MF内，故 1 1| | | | | | 2,MT FT MF   2 2| | | | | | 2.MT FT MF   ，若 P不在直线MF上，在 MFP 中有 | | | | | | 2.MP FP MF   故 | | | |MP FP 只在 T1点取得最大值 2。 31.（湖北理 20） 平面内与两定点 1( ,0)A a ， 2( ,0)A a ( 0)a  连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹， 加上 1A 、 2A 两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系； （Ⅱ）当 1m   时，对应的曲线为 1C ；对给定的 ( 1,0) (0, )m U   ，对应的曲线为 2C ， 设 1F 、 2F 是 2C 的两个焦点。试问：在 1C 撒谎个，是否存在点 N ，使得△ 1F N 2F 的面积 2| |S m a 。若存在，求 tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与 整合和数形结合的思想。（满分 14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为 ( , )x y ， 当 x a  时，由条件可得 1 2 2 2 2 ,MA MA y y yk k m x a x a x a         即 2 2 2 ( )mx y ma x a    ， 又 1 2( ,0), ( ,0)A a A A 的坐标满足 2 2 2 ,mx y ma  故依题意，曲线 C的方程为 2 2 2 .mx y ma  当 1 ,m   时 曲线 C的方程为 2 2 2 2 1,x y C a ma    是焦点在 y轴上的椭圆； 当 1m   时，曲线 C的方程为 2 2 2x y a  ，C是圆心在原点的圆； 当 1 0m   时，曲线 C的方程为 2 2 2 2 1x y a ma    ，C是焦点在 x轴上的椭圆； 当 0m  时，曲线 C的方程为 2 2 2 2 1,x y a ma   C是焦点在 x轴上的双曲线。 （II）由（I）知，当 m=-1时，C1的方程为 2 2 2 ;x y a  当 ( 1,0) (0, )m   时， C2的两个焦点分别为 1 2( 1 ,0), ( 1 ,0).F a m F a m   对于给定的 ( 1,0) (0, )m   ， C1上存在点 0 0 0( , )( 0)N x y y  使得 2| |S m a 的充要条件是 2 2 2 0 0 0 2 0 , 0, 1 2 1 | | | | . 2 x y a y a m y m a          由①得 00 | | ,y a  由②得 0 | || | . 1 m ay m   ① ② 当 | | 1 50 , 0, 21 m a a m m       即 或 1 50 2 m    时， 存在点 N，使 S=|m|a2； 当 | | 1 5, , 21 m a a m    即-1