【数学】2020届一轮复习苏教版圆锥曲线的基本问题课时作业 5页

第11讲　圆锥曲线的基本问题 ‎1.(2018扬州中学高三开学考)‎ 设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是　　　　. ‎ ‎2.(2018徐州铜山中学高三期中)各棱长都为2的正四棱锥的体积为　　　　. ‎ ‎3.若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎4.(2018江苏五校高三学情检测)若直线‎3‎x-y=0为双曲线x2-y‎2‎b‎2‎=1(b>0)的一条渐近线,则b的值为　　　　. ‎ ‎5.(2018南京高三学情调研)已知实数x,y满足条件‎2≤x≤4,‎y≥3,‎x+y≤8,‎则z=3x-2y的最大值为　　　　. ‎ ‎6.(2018盐城时杨中学高三月考)已知00”为真命题,则a>0,‎Δ=16-4a‎2‎<0.‎解得a>2.‎ ‎4.答案　‎‎3‎ 解析　直线‎3‎x-y=0为双曲线x2-y‎2‎b‎2‎=1(b>0)的一条渐近线,则b=‎3‎.‎ ‎5.答案　6‎ 解析　约束条件对应的平面区域是以点(2,6),(4,4),(4,3),(2,3)为顶点的四边形,目标函数z=3x-2y在点(4,3)处取得最大值,最大值为6.‎ ‎6.答案　‎‎215‎‎169‎ 解析　因为0cosx>0.‎ 联立sinx-cosx=‎7‎‎13‎和sin2x+cos2x=1,‎ 解得sinx=‎12‎‎13‎,cosx=‎5‎‎13‎.‎ 所以4sinxcosx-cos2x=4×‎12‎‎13‎×‎5‎‎13‎-‎25‎‎169‎=‎215‎‎169‎.‎ ‎7.答案　‎‎6‎ 解析　由AB·AC=(AE-2EF)·(AE+2EF)=|AE|2-4|EF|2=2,AD·AF=(AE-EF)·(AE+EF)=|AE|2-|EF|2=5,解得|EF|=1,|AE|=‎6‎.‎ ‎8.答案　y=x+‎‎1‎‎2‎ 解析　设A(x1,x‎1‎‎2‎),B(x2,x‎2‎‎2‎),将直线l:y=x+t代入抛物线的方程,得x2-x-t=0.所以x1+x2=1,x1x2=-t,Δ=1+4t>0,t>-‎1‎‎4‎.又PA·PB=(x1-1,x‎1‎‎2‎)·(x2-1,x‎2‎‎2‎)=(x1-1)(x2-1)+(x1x2)2=t2-t=t-‎‎1‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎4‎,所以当t=‎1‎‎2‎时,PA·PB取得最小值-‎1‎‎4‎,此时直线的方程为y=x+‎1‎‎2‎.‎ ‎9.解析　(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+1+‎3‎sinxcosx+‎1‎‎2‎=‎1-cos2x‎2‎+1+‎3‎‎2‎sin2x+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎sin2x-‎1‎‎2‎cos2x+2=sin‎2x-‎π‎6‎+2.因为ω=2,所以T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由(1)知,f(A)=sin‎2A-‎π‎6‎+2,当A∈‎0,‎π‎2‎时,-π‎6‎≤2A-π‎6‎≤‎5π‎6‎.‎ 由正弦函数的图象可知,当2A-π‎6‎=π‎2‎,即A=π‎3‎时.f(x)取得最大值3.‎ 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA.∴12=b2+16-2×4b×‎1‎‎2‎.‎ ‎∴b=2,从而S=‎1‎‎2‎bcsinA=‎1‎‎2‎×2×4×sin60°=2‎3‎.‎ ‎10.证明　(1)取AB的中点P,连接PM,PB1.‎ 因为M,P分别是AC,AB的中点,‎ 所以PM∥BC,且PM=‎1‎‎2‎BC.‎ 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B1C1,‎ 又因为N是B1C1的中点,‎ 所以PM∥B1N,且PM=B1N,‎ 所以四边形PMNB1是平行四边形,‎ 所以MN∥PB1.‎ 而MN⊄平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,‎ 所以MN∥平面ABB1A1.‎ ‎(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥面A1B1C1.又因为BB1⊂面ABB1A1,‎ 所以面ABB1A1⊥面A1B1C1.‎ 又因为∠ABC=90°,所以B1C1⊥B1A1.‎ 又因为面ABB1A1∩面A1B1C1=B1A1,B1C1⊂平面A1B1C1,‎ 所以B1C1⊥面ABB1A1.又因为A1B⊂面ABB1A1,‎ 所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B.‎ 连接AB1,因为在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,‎ 所以AB1⊥A1B.‎ 又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂面AB1N,所以A1B⊥面AB1N.而AN⊂面AB1N,所以A1B⊥AN,即AN⊥A1B.‎