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- 2021-06-17 发布
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第十章 计数原理
第1讲 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
一、选择题
1.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )
A.6个 B.9个
C.18个 D.36个
解析 由题意,知1,2,3中必有某一个数字使用2次.第一步确定谁被使用2次,有3种方法;第二步把这2个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法,故共可组成3×3×2=18(个)不同的四位数.
答案 C
2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜,7种不同的蔬菜,用餐者可以按下述方法之一搭配午餐:(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭;(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法总数是( ).
A.210 B.420 C.56 D.22
解析 由分类加法计数原理:两类配餐方法和即为所求,所以每天不同午餐的搭配方法总数为:CC+CC=210.
答案 A
3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( )
A.24种 B.18种
C.12种 D.6种
解析 法一:(直接法)若黄瓜种在第一块土地上,
则有3×2×1=6(种)不同种植方法.
同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2×1=6种不同种植方法.
故不同的种植方法共有6×3=18(种).
法二:(间接法)从4种蔬菜中选出3种,种在三块地上,有4×3×2=24(种),其中不种黄瓜有3×2×1=6(种),故共有不同种植方法24-6=18(种).
答案 B
4.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ).
A.60 B.48 C.36 D.24
解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B.
答案 B
5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( ).
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
解析 甲、乙两人不去巴黎游览情况较多,采用排除法,符合条件的选择方案有CA-CA=240.
答案 B
6. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ).
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4
解析 利用排列、组合知识求解.设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示.若任意两位同学之间都进行交换共进行C=15(次)交换,现共进行13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:(1)由3人构成的2次交换,如a-b和a-c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c
两人.
(2)由4人构成的2次交换,如a-b和c-e之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.故选D.
答案 D
二、填空题
7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示).
解析 因为直线过原点,所以C=0,从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B,两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为A=30.
答案 30
8.数字1,2,3,…,9这九个数字填写在如图的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有________种.
解析 必有1、4、9在主对角线上,2、3只有两种不同的填法,对于它们的每一种填法,5只有两种填法.对于5的每一种填法,6、7、8只有3种不同的填法,由分步计数原理知共有22×3=12种填法.
答案 12
9.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的填写方法共有________种.
解析 由于3×3方格中,每行、每列均没有重复数字,因此可从中间斜对角线填起.如图中的△,当△全为1时,有2种(即第一行第2列为2或3,当第二列填2时,第三列只能填3,当第一行填完后,其他行的数字便可确定),当△全为2或3时,分别有2种,所以共有6种;当△分别为1,2,3时,也共有6种.共12种.
答案 12
10.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”
项目,其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有________种(用数字作答).
解析 记4位同学分别为:A、B、C、D.则上午共有4×3×2×1=24种安排方式.不妨先假定上午如表格所示安排方式,
项目
身高与体重
立定跳远
肺活量
握力
台阶
上午
A
B
C
D
[来源
下午
则下午可如下安排:BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB,CDAB、CDBA,DABC、DCAB、DCBA,共11种安排方式.因此,全天共有24×11=264(种)安排方式.
答案 264
三、解答题
11.如图所示三组平行线分别有m、n、k条,在此图形中
(1)共有多少个三角形?
(2)共有多少个平行四边形?
解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的,由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形.
(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的,由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形.
12.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.
(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?
(2)P可以表示多少个第二象限内的点?
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?
解 (1)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有6种,经检验36个点均不相同,由分步乘法计数原理得N=6×6=36(个).
(2)分两步,第一步确定横坐标有3种,第二步确定纵坐标有2种,根据分步乘法计数原理得N=3×2=6个.
(3)分两步,第一步确定横坐标有6种,第二步确定纵坐标有5种,根据分步乘法计数原理得N=6×5=30个.
13.如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F
六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有多少种?
解 先涂A、D、E三个点,共有4×3×2=24种涂法,然后再按B、C、F的顺序涂色,分为两类:一类是B与E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8种涂法;另一类是B与E或D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3种涂法.所以涂色方法共有24×(8+3)=264(种).
14.已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是从A到B的映射.
(1)若B中每一元素都有原像,这样不同的f有多少个?
(2)若B中的元素0必无原像,这样的f有多少个?
(3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的f又有多少个?
解 (1)显然对应是一一对应的,即为a1找像有4种方法,a2找像有3种方法,a3找像有2种方法,a4找像有1种方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24(个).
(2)0必无原像,1,2,3有无原像不限,所以为A中每一元素找像时都有3种方法.所以不同的f共有34=81(个).
(3)分为如下四类:
第一类:A中每一元素都与1对应,有1种方法;
第二类:A中有两个元素对应1,一个元素对应2,另一个元素与0对应,有C·C=12(种)方法;
第三类:A中有两个元素对应2,另两个元素对应0,有C·C=6(种)方法;
第四类:A中有一个元素对应1,一个元素对应3,另两个元素与0对应,有C·C=12(种)方法.
所以不同的f共有1+12+6+12=31(个).