【数学】2020届一轮复习人教B版 平面直角坐标系 作业 7页

一、选择题 ‎1．通过伸缩变换，下列曲线形态可能发生变化的是 (　A　)‎ ‎①直线　②圆　③椭圆　④双曲线　⑤抛物线 A．②③　　　　　　　 B．①④⑤‎ C．①②③ D．②③④⑤‎ ‎【解析】　将伸缩变换公式代入直线、双曲线和抛物线方程后，得到的仍是直线、双曲线和抛物线．‎ ‎2．将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为 (　C　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　由伸缩变换公式 得∴ 故所求的伸缩变换公式为 ‎3．在同一平面直角坐标系中，满足由直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4的伸缩变换为 (　C　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　令x′＝λx，y′＝μy代入2x′－y′＝4得2λx－μy＝4即λx－y＝2又x－2y＝2，∴λ＝1，＝2即μ＝4，‎ ‎∴ ‎4．怎样将y＝sinx的图象得到y＝2sin2x的图象 (　B　)‎ A．横坐标不变，将纵坐标变为原来的2倍；再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 B．横坐标不变，将纵坐标变为原来的2倍；再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 C．横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍；再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 D．横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍；再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 ‎【解析】　将y＝sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin2x的图象，故选B．‎ ‎5．将＋y2＝1的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为 (　B　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋2y2＝1 D．＋2y2＝1‎ ‎【解析】　根据题意，变换为代入＋y2＝1‎ 得＋2＝1即＋＝1.‎ ‎6．要得到y＝sinxcosx的图象，只需将函数y＝sinx的图象 (　A　)‎ A．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的；纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 B．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍；纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 C．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的；纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 D．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍；纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ‎【解析】　y＝sinxcosx＝sin2x ‎∴y＝sinxy＝sinxy＝sin2x.‎ 二、填空题 ‎7．将y＝sinx变为新的曲线y＝3sin2x的变换为　　. ‎8．伸缩变换的坐标表达式为，曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋＝1，则曲线C的方程为__x2＋y2＝1__. ‎【解析】　将代入x′2＋＝1得x2＋y2＝1.‎ ‎9．要将椭圆＋y2＝1只进行横坐标的伸缩变换变为圆，则变换为　　. ‎【解析】　根据题意＋y2＝1→x′2＋y′2＝1，∴.‎ ‎10．在△ABC中，已知A(4,2)，B(3,5)，|AB|＝|AC|，则点C的轨迹方程为__(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3,5)，(5，－1)两点)__. ‎【解析】　设C(x，y)，则由|AB|＝|AC|，可得＝，化简得(x－4)2＋(y－2)2＝10.又∵A，B，C三点不共线，∴(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉两点(3,5)，(5，－1))．‎ 三、解答题 ‎11．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为：x′2＋16y′2＝16，求曲线C的方程并画出图象. ‎【解析】　将代入x′2＋16y′2＝16得(4x)2＋16(2y)2＝16‎ 化简得x2＋＝1.‎ 图形略．‎ ‎12．已知一条长为6的线段的两个端点A，B分在x轴、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AMMB＝12，求动点M的轨迹方程. ‎【解析】　如图，设A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，‎ ‎∵|AB|＝6，∴＝6，即x＋y＝36.　①‎ ‎∵AMMB＝12，‎ ‎∴x＝，y＝，即 将其代入①，得x2＋9y2＝36，即x2＋4y2＝16.‎ 故动点M的轨迹方程为x2＋4y2＝16.‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．将y＝f(x)的图象横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为 (　D　)‎ A．y＝3f(3x) B．y＝f(3x)‎ C．y＝3f D．y＝f ‎【解析】　根据题意变换为⇒ 代入y＝f(x)得3y′＝f，‎ ‎∴y′＝f.‎ ‎2．将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为 (　D　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．4x2＋9y2＝36 D．4x2＋9y2＝1‎ ‎【解析】　将x′＝2x，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1得(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1.故选D．‎ ‎3．将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲线方程为 (　A　)‎ A．F(，3y)＝0 B．F(2x，)＝0‎ C．F(3x，)＝0 D．F(，2y)＝0‎ ‎4．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为 (　C　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　椭圆＋＝1化为＋＝4，‎ 令即可化为(x′)2＋(y′)2＝4，‎ 故选C．‎ ‎5．曲线y＝sin(x＋)经过伸缩变换后的曲线方程是 (　C　)‎ A．y′＝5sin(4x′＋) B．y′＝sin(4x′＋)‎ C．y′＝5sin(x′＋) D．y′＝sin(x′＋)‎ ‎【解析】　由伸缩变换得 将其代入y＝sin(x＋)中得y′＝sin(x′＋)，化简得y＝5sin(x′＋)，故选C．‎ 二、填空题 ‎6．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为　y＝log3　. ‎【解析】　设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′(x′，y′)，由题意知伸缩变换为 ∴ 代入y＝log3x，得y′＝log3x′，‎ y＝log3.‎ ‎7．将椭圆＋y2＝1的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，所得椭圆的焦点坐标为　(0，±2)　. ‎【解析】　变换公式为⇒ 代入＋y2＝1得x′2＋＝1‎ ‎∴焦点在y轴上且c2＝a2－b2＝9－1＝8，‎ ‎∴焦点为(0，±2)．‎ ‎8．在伸缩变换φ：作用下，点P(1，－2)变换为P′的坐标为__(2，－1)__. ‎【解析】　根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式，‎ ‎∵x＝1，y＝－2，∴x′＝2x＝2，‎ y′＝y＝－1，‎ 所以P′(2，－1)．‎ 三、解答题 ‎9．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：. ‎(1)求点A(，－2)经过φ变换后所得的点A′的坐标；‎ ‎(2)点B经过φ变换后得到点B′(－3，)，求点B的坐标；‎ ‎(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程；‎ ‎(4)求双曲线C：x2－＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ ‎【解析】　(1)设A′(x′，y′)，‎ 由伸缩变换φ： 得到，‎ 由于A(，－2)，‎ 于是x′＝3×＝1，‎ y′＝×(－2)＝－1，‎ ‎∴A′(1，－1)为所求．‎ ‎(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：得到，由于B′(－3，)，于是x＝×(－3)＝－1，y＝2×＝1，∴B(－1,1)为所求．‎ ‎(3)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由上述可知，将 代入y＝6x得2y′＝6×(x′)，‎ 所以y′＝x′，即y＝x为所求．‎ ‎(4)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，‎ 将代入x2－＝1得－＝1，‎ 化简得－＝1，‎ 即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，且焦点F1(5,0)，F2(－5,0)为所求．‎ ‎10．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过P点的椭圆方程. ‎【解析】　解法一：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．‎ 设所求椭圆方程为＋＝1，‎ ‎(a>b>0)，焦点M(－c,0)，‎ N(c,0)．由tan∠PMN＝，tanα＝2得直线PM，PN的方程分别为：y＝(x＋c)和y＝2(x－c)，‎ 由此解得P.‎ 在△PMN中，S△PMN＝|MN||yP|＝c2，‎ ‎∴c2＝1，∴c＝，∴点P.‎ 因此|PM|＝，|PN|＝.‎ ‎∴a＝(|PM|＋|PN|)＝，‎ 又b2＝a2－c2＝3.‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ 解法二：同解法一建立坐标系，‎ ‎∵∠P＝∠α－∠PMN，‎ ‎∴tan∠P＝＝.‎ ‎∵∠P为锐角，∴sin∠P＝，cos∠P＝，‎ 又S△PMN＝|PM|·|PN|·sin∠P＝1，‎ ‎∴|PM|·|PN|＝.‎ 在△PMN中，(2c)2＝|PM|2＋|PN|2－2|PM|·|PN|·cos∠P＝(|PM|＋|PN|)2－2|PM|·|PN|(1＋cos∠P)＝(2a)2－2×× ‎∴c2＝a2－3，即b2＝3，‎ 又sin∠PMN＝，sin∠PNM＝，＝＝，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴a＝c，∴a2＝b2＋c2＝3＋，∴a2＝.‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎