高考数学复习专题练习第1讲 数列的概念与简单表示法 6页

第六章 数 列 第1讲 数列的概念与简单表示法 一、选择题 ‎1．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n－1　 B．an＝n2‎ C．an＝ D．an＝ 解析 设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.‎ 答案 D ‎2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是 (　　)．‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析　∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.‎ 两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，‎ ‎∴an＝0(n∈N*)，故选C.‎ 答案　C ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝ (　　)．‎ A．－16 B．‎16 ‎ C．31 D．32‎ 解析　当n＝1时，S1＝a1＝‎2a1－1，∴a1＝1，‎ 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．‎ ‎∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.‎ 答案　B ‎4．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由an＋1>|an|可得an＋1>an.∴{an}是递增数列．‎ ‎∴“an＋1>|an|”是“{an}为递增数列”的充分条件．‎ 当数列{an}为递增数列时，不一定有an＋1>|an|，如：－3，－2，－1,0,1，….‎ ‎∴“an＋1>|an|”不是“{an}为递增数列”的必要条件．‎ 答案 B ‎5．数列{an}满足下列条件：a1＝1，且对于任意的正整数n(n≥2，n∈N＋)，‎ 恒有2an＝2nan－1，则a100的值为(　　)‎ A．1 B．299‎ C．2100 D．24 950‎ 解析 由2an＝2nan－1可得＝2n－1(n≥2)，‎ ‎∴a100＝××…×××a1＝299×298×…×22×21×1＝2＝24 950.‎ 答案 D ‎6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为(　　)．‎ A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列 解析　由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}‎ 既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，‎ 所以数列{an}为递增数列．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．‎ 解析　易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．‎ 答案　10或11‎ ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.‎ 解析　由an＝n(an＋1－an)，可得＝，‎ 则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.‎ 答案　2　n ‎9．函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________‎ 解析 函数y＝x2(x>0)在点(a1，a)处(a1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．令y＝0，得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(a2，a)处(a2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)．令y＝0，得a3＝4，依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.‎ 答案 21‎ ‎10．在数列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，n∈N＋)，则a2 011＝________.‎ 解析 ∵a1＝，an＝(n≥2，n∈N＋)，‎ ‎∴a2＝2，a3＝－1，a4＝.‎ ‎∴{an}是以3为周期的数列．‎ ‎∴a2011＝a670×3＋1＝a1＝.‎ 答案 三、解答题 ‎11．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ ‎12．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.‎ ‎(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．‎ 解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，‎ 又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，‎ 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，‎ 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，‎ 当n＝1时，a1＝a不适合上式，‎ 故an＝ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2‎ ‎＝2n－2，‎ 当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.‎ 又a2＝a1＋3>a1.‎ 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．‎ ‎13．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(‎9m,‎92m)内的项的个数记为bm，求数 列{bm}的前m项和Sm.‎ 解　(1)因为{an}是一个等差数列，‎ 所以a3＋a4＋a5＝‎3a4＝84，即a4＝28.‎ 设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.‎ 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．‎ ‎(2)对m∈N*，若‎9m＜an＜‎92m，‎ 则‎9m＋8＜9n＜‎92m＋8，因此‎9m－1＋1≤n≤‎92m－1，‎ 故得bm＝‎92m－1－‎9m－1.‎ 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ‎＝(9＋93＋…＋‎92m－1)－(1＋9＋…＋‎9m－1)‎ ‎＝－ ‎＝.‎ ‎14．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝1－(n∈N＋)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．‎ 解 (1)依题意，Δ＝a2－‎4a＝0，∴a＝0或a＝4.‎ 又由a>0得a＝4，‎ ‎∴f(x)＝x2－4x＋4.∴Sn＝n2－4n＋4.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.[来源:学|科|网]‎ ‎∴an＝ ‎(2)由题设cn＝ 由1－＝可知，当n≥5时，恒有an>0.‎ 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，‎ 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，‎ ‎∴数列{cn}的变号数为3.‎