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- 2021-06-17 发布
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第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差
一、选择题
1.设 X 为随机变量,X~B n,1
3 ,若随机变量 X 的数学期望 EX=2,则 P(X=2)
等于( )
A.13
16 B. 4
243
C. 13
243 D. 80
243
解析 ∵X~B n,1
3 ,EX=2,∴n·1
3
=2,∴n=6,
∴P(X=2)=C26
1
3 2 1-1
3 4=6×5
1×2
×1
9
×16
34
= 80
243.
答案 D
2.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3
支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( ).
A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6
解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6,
P(X=3)= 1
C36
= 1
20
,P(X=4)=C23
C36
= 3
20
,
P(X=5)=C24
C36
= 3
10
,P(X=6)=C25
C36
=1
2.
由数学期望的定义可求得 EX=5.25.
答案 B
3.若 p 为非负实数,随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 1
2
-p p 1
2
则 Eξ的最大值为( ).
A.1 B.3
2 C.2
3 D.2
解析 由 p≥0,1
2
-p≥0,则 0≤p≤1
2
,Eξ=p+1≤3
2.
答案 B
4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 Eη,Dη分别是 ( ).
A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6
解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得 Eη=8-EX=8
-10×0.6=2,
Dη=(-1)2DX=10×0.6×0.4=2.4.
答案 B
5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概
率为 c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则2
a
+ 1
3b
的最小
值为 ( ).
A.32
3 B.28
3 C.14
3 D.16
3
解析 由已知得,3a+2b+0×c=2,
即 3a+2b=2,其中 0Dξ2
B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1Dξ2.
答案 A
二、填空题
7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的期望 Eξ=8.9,则 y 的值为________.
解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.①
又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4.②
由①②联立解得 x=0.2,y=0.4.
答案 0.4
8.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概
率为 c,a,b,c∈(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分
情况),则 ab 的最大值为________.
解析 由已知 3a+2b+0×c=1,
∴3a+2b=1,
∴ab=1
6·3a·2b≤1
6·3a+2b2
4
= 1
24
,
当且仅当 a=1
6
,b=1
4
时取“=”.
答案 1
24
9.随机变量ξ的分布列如下:
ξ -1 0 1
P a b c
其中 a,b,c 成等差数列.若 Eξ=1
3
,则 Dξ的值是________.
解析 根据已知条件:
a+b+c=1,
2b=a+c,
-a+c=1
3
,
解得:a=1
6
,b=1
3
,c=1
2
,
∴Dξ=1
6
× -1-1
3
2
+1
3
× 0-1
3
2
+1
2
× 1-1
3
2
=5
9.
答案 5
9
10.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-2 2,- 3,- 5
2
,
0, 5
2
, 3,2 2,用ξ表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量ξ的数学期望 Eξ
=________.
解析 当 l 的斜率 k 为±2 2时,直线 l 的方程为±2 2x-y+1=0,此时坐标
原点到 l 的距离 d=1
3
;当 k 为± 3时,d=1
2
;当 k 为± 5
2
时,d=2
3
;当 k 为 0
时,d=1,由古典概型的概率公式可得分布列如下:
ξ 1
3
1
2
2
3 1
P 2
7
2
7
2
7
1
7
所以 Eξ=1
3
×2
7
+1
2
×2
7
+2
3
×2
7
+1×1
7
=4
7.
答案 4
7
三、解答题
11.某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生
的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1
2.
若某人获得两个“支持”,则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支
持”,则给予 5 万元的创业资助;若未获得“支持”,则不予资助,令ξ表
示该公司的资助总额.
(1)写出ξ的分布列;(2)求数学期望 Eξ.
解 (1)ξ的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.[来源:学|科|网]
P(ξ=0)= 1
64
,P(ξ=5)= 3
32
,P(ξ=10)=15
64
,P(ξ=15)= 5
16
,P(ξ=20)=15
64
,
P(ξ=25)= 3
32
,P(ξ=30)= 1
64.
故ξ的分布列为:
ξ 0 5 10 15 20 25 30
P 1
64
3
32
15
64
5
16
15
64
3
32
1
64
(2)Eξ=5× 3
32
+10×15
64
+15× 5
16
+20×15
64
+25× 3
32
+30× 1
64
=15.
12.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n
=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.
(1)求 X 的分布列、期望和方差;
(2)若η=aX+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值.
解 (1)X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1
2
1
20
1
10
3
20
1
5
∴EX=0×1
2
+1× 1
20
+2× 1
10
+3× 3
20
+4×1
5
=1.5.
DX=(0-1.5)2×1
2
+(1-1.5)2× 1
20
+(2-1.5)2× 1
10
+(3-1.5)2× 3
20
+(4-1.5)2
×1
5
=2.75.
(2)由 Dη=a2DX,得 a2×2.75=11,即 a=±2.
又 Eη=aEX+b,
所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2.
当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
∴ a=2,
b=-2
或 a=-2,
b=4,
即为所求.
13.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1
2
,a,a(0