- 156.29 KB
- 2021-06-19 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
数列的概念与表示
· 数列的有关概念
数列（sequence of number）是以正整数集 N*（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，⋯⋯，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，⋯，an，⋯，简记为 an．
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
如果数列 an 的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．
精选例题
数列的概念与表示
1. 无穷数列 an 由 k 个不同的数组成，Sn 为 an 的前 n 项和，若对任意 n∈N*，Sn∈2,3，则 k 的最大值为 ．
【答案】 4
【分析】 关键条件是任意的 Sn 只取两个值，故通过列举一一写出，从而找到规律．
【解】 由于 Sn,Sn+1∈2,3，于是 an+1∈-1,0,1 ，也即从第 2 项起数列 an 的不同取值不超过 3 个，进而数列 an 中的项的所有不同取值 k⩽4．事实上，取数列
an:2,1,0,-1⏟,1,0,-1⏟,1,0,-1⏟,⋯,
此时 k=4，因此 k 的最大值为 4．
2. 有一列数 a1=1，以后各项 a2，a3，a4，⋯，法则如下：如果 an-2 为自然数且前面未出现过，那么 an+1=an-2，否则 an+1=an+3，由此推算 a6 的值应是 ．
【答案】 6
【分析】 因为 a1=1，所以 a2=a1+3=4，a3=a2-2=2，a4=a3-2=0，a5=a4+3=3，a6=a5+3=6，其余的都不行．
3. 第七届国际数学教育大会的会徽图案由七个直角三角形演化而成，其结构如图所示．若 OA0=A0A1=A1A2=⋯=A6A7=1，各斜边 OA1，OA2，OA3，⋯，OA7 的长度组成数列 ann∈N,1⩽n⩽7，则此数列的通项公式为 ．
【答案】 an=n+1
4. 数列 35，48，511，614，717，⋯ 的一个通项公式是 ．
【答案】 n+23n+2
5. 若 a1=1，an=an-1+1an-1，则 a5= ．
【答案】 941290
【分析】 a2=1+1=2，a3=2+12=52，a4=52+25=2910，a5=2910+1029=941290．
6. 已知数列 an 满足 a1=1,an=2an-1an-1+2n>1,n∈N*, 写出这个数列的前 4 项： ， ， ， ．
【答案】 1；23；12；25
【分析】 a1=1，a2=21+2=23，a3=2×2323+2=12，a4=2×1212+2=25．
7. 已知函数 fn=n2cosnπ，且 an=fn+fn+1，则 a1+a2+⋯+a100= ．
【答案】 -100
8. 已知数列 an 满足 a1=1，an=1+1an-1n>1．则 a5= ．
【答案】 85
9. 已知数列 an 满足 an=an-1-an-2n⩾3,n∈N*，它的前 n 项和为 Sn．若 S9=6，S10=5，则 a1 的值为 ．
【答案】 1
【分析】 因为 an=an-1-an-2，
所以 an+1=an-an-1=-an-2，即 an=an+6．
因为 S9=6,S10=5，
所以 a10=-1，
即 a4=-1，从而 a1=-a4=1．
10. 数列 an 中，a1=7，a9=8，且 n-1an=a1+a2+⋯+an-1n⩾3，则 a2 等于 ．
【答案】 9
【分析】 由 n-1an=a1+a2+⋯+an-1n⩾3，得 nan+1=a1+a2+⋯+an，两式相减，得：nan+1-n-1an=an，所以 n⩾3 时，nan+1=nan，即 an+1=an，又 a9=8，所以 a3=8．又 2a3=a1+a2，a1=7，所以 a2=2a3-a1=9．
11. 已知数列 an ， an=kn-5 ，且 a8=11 ，则 a17= ．
【答案】 29
12. 设数列 an 的首项 a1=14，且 an+1=12an,n为偶数,an+14,n为奇数, 则 a2= ，a3= ．
【答案】 12；14
13. 已知数列 an 对任意的 p,q∈N* 满足 ap+q=ap+aq，且 a2=-6，则 a10= ．
【答案】 -30
【分析】 令 p=q=2，则 a4=2a2=-12．再令 p=4=q，则 a8=2a4=-24．再令 p=8，q=2，则 a10=a8+a2=-30．
14. 数列 an 中，a1=1，对所有 n⩾2，都有 a1a2a3⋯an=n2，则 a3+a5= ．
【答案】 6116
【分析】 由 a1=1 且对 n⩾2 有 a1a2a3⋯an=n2，
则令 n=2，得 a1a2=22=4，∴a2=4a1=41=4．
令 n=3，得 a1a2a3=32=9，∴a3=9a1a2=94．
令 n=4，得 a1a2a3a4=42=16，∴a4=16a1a2a3=169．
令 n=5，得 a1a2a3a4a5=52=25，∴a5=25a1a2a3a4=2516．
从而 a3+a5=94+2516=6116．
其他方法：由 a1a2a3⋯an=n2，则 a1a2a3=9,a1a2=4. 两式相除得 a3=94；同理 a1a2a3a4a5=25,a1a2a3a4=16. 两式相除得 a5=2516，故 a3+a5=94+2516=6116．
15. 数列 an 满足 a1=1，an+1=1an+1-1，则 a4 = ．
【答案】 -12
16. 数列 an 的通项公式 an=1n+n+1，则 10-3 是此数列的第 项．
【答案】 9
【分析】 an=1n+n+1=n+1-n，∵ 10-3=9+1-9，∴ n=9．
17. 已知 fx 为偶函数，f2+x=f2-x，当 -2⩽x⩽0 时，fx=2x，若 n∈N*,an=fn，则 a2013= ．
【答案】 12
【分析】 解析 ∵fx 为偶函数，∴fx=f-x，
∴fx+2=f2-x=fx-2．
故 fx 周期为 4，
∴a2013=f2013=f1=f-1=2-1=12．
18. 已知数列 an 满足 a1=2，an+1=5an-133an-7n∈N*，则数列 an 的前 100 项和为 ．
【答案】 200
【分析】 依题意，利用枚举法，由 a1=2，an+1=5an-133an-7n∈N*，
可得 a2=5×2-133×2-7=3，a3=5×3-133×3-7=1，a4=5×1-133×1-7=2，
即有 a1=2，a2=3，a3=1，a4=2，
进而 a5=3，a6=1，
所以 an 是以 3 为周期的周期数列，S100=a1+a2+a3×33+2=200．
19. 数列 an 中，a1=1，an=1an-1+1，则 a4= ．
【答案】 53
20. 已知 fx=log2x2+7，an=fn，则 an 的第五项为 ．
【答案】 5
21. 已知数列 9n2-9n+29n2-1．
(1)求这个数列的第 10 项；
【解】 因为 an=9n2-9n+29n2-1=3n-13n-23n-13n+1，
所以 an=3n-23n+1．
令 n=10，得 a10=2831．
(2)98101 是不是该数列的项？
【解】 令 3n-23n+1=98101，得 9n=300，
解得 n=1003．
由于 1003 不是正整数，因此，98101 不是该数列的项．
(3)求证：该数列的各项都在区间 0,1 内；
【解】 因为 an=3n-23n+1=1-33n+1，
而 n∈N+ 时，0<33n+1<1．
所以 0<1-33n+1<1，所以 01，Vm=i=1m-1∣ai+1-ai∣．定义：数列 an 满足 ai+1⩽aii=1,2,⋯,m-1，称数列 an 的前 m 项单调不增．
(1)若数列 an 的通项公式为：an=-1n，n∈N*，求 V5．
【解】 V5=8．
(2)若数列 an 满足：a1=a，am=b，m>1,m∈N*,a>b，求证：Vm=a-b 的充分必要条件是数列 an 的前 m 项单调不增．
【解】 充分性：若数列 an 的前 m 项单调不增，即 am⩽⋯⩽a2⩽a1
此时有：
Vm=i=1m-1∣ai+1-ai∣=a1-a2+a2-a3+⋯+am-1-am=a1-am=a-b．
必要性：反证法，若数列 an 的前 m 项不是单调不增，
则存在 i1⩽i⩽m-1 使得 ai+1>ai，
那么：
Vm=t=1m-1∣at+1-at∣=t=1i-1∣at+1-at∣+∣ai+1-ai∣+t=i+1m-1∣at+1-at∣⩾∣ai-a1∣+ai+1-ai+∣am-ai+1∣⩾∣am-a1+ai-ai+1∣+ai+1-ai=∣a-b+ai+1-ai∣+ai+1-ai
由于 ai+1>ai，a>b，
所以 ∣a-b+ai+1-ai∣+ai+1-ai>a-b．
与已知矛盾．
(3)给定正整数 mm>1，若数列 an 满足：an⩾0，n=1,2,⋯,m，且数列 an 的前 m 项和为 m2，求 Vm 的最大值与最小值．（写出答案即可）
【解】 最小值为 0，此时 an 为常数列．
最大值为 4m=2,2m2m>2.
当 m=2 时的最大值：
此时 a1+a2=4，a1,a2⩾0，∣a1-a2∣⩽∣4-0∣=4．
当 m>2 时的最大值：
此时 a1+a2+⋯=m2，a1,a2,⋯,an⩾0．
由 ∣x-y∣⩽∣x∣+∣y∣ 易证，
an 的值的只有是大小交替出现时，才能让 Vm 取最大值．
不妨设：ai+1⩽ai，i 为奇数，
ai+1⩾ai，i 为偶数．
当 m 为奇数时有：
Vm=i=1m-1∣ai+1-ai∣=a1-a2+a3-a2+a3-a4+a5-a4+⋯+am-am-1=2i=1mai-i=1m-12a2i⩽2i=1mai=2m2．
当 m 为偶数时同理可证．
26. 一个数列的通项公式是 an=n2-8n+13，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值．
【解】 因为 an=n-42-3，所以可计算得：a1=6，a2=1，a3=-2，a4=-3，a5=-2．
数列的通项公式即为函数的解析式，故知当 n=4 时，an 取到最小值 -3，
即数列的最小项为 a4=-3．
27. 设关于 x 的一元二次方程 anx2-an+1x+1=0n∈N* 有两根 α 和 β 且满足 6α-2αβ+6β=3．
(1)试用 an 表示 an+1；
【解】 根据韦达定理，得 α+β=an+1an，α⋅β=1an，
由 6α-2αβ+6β=3，
得 6⋅an+1an-2an=3，
故 an+1=12an+13．
(2)求证：数列 an-23 是等比数列；
【解】 an+1-23=12an-13=12an-23，
若 an-23=0，则 an+1-23=0，
从而 an+1=an=23，
这时一元二次方程 anx2-an+1x+1=0 无实数根，
故 an+1-23≠0，
所以 an+1-23an-23=12，
数列 an-23 是公比为 12 的等比数列．
(3)当 a1=76 时，求数列 an 的通项公式．
【解】 设 bn=an-23，则数列 bn 是公比 q=12 的等比数列，
又 b1=a1-23=76-23=12，
所以 bn=b1qn-1=1212n-1=12n，
所以 an-23=12n，an=23+12n．
28. 函数 fn=nn∈N+,n为奇数,fn2n∈N+,n为偶数. 数列 an 的通项 an=f1+f2+f3+⋯+f2nn∈N+．
(1)求 a1，a2，a4 的值；
【解】 a1=f1+f2=f1+f1=2．
a2=f1+f2+f3+f4=f1+f3+f1+f2=1+3+a1=6．
a4=f1+f2+f3+⋯+f16=86．
(2)写出 an 与 an-1 的一个递推关系式（1+3+5+⋯+2n-1=4n-1）．
【解】 an-1=f1+f2+⋯+f2n-1，an=f1+f2+⋯+f2n=f1+f3+f5+⋯+f2n-1+f2+f4+f6+⋯+f2n=1+3+5+⋯+2n-1+f1+f2+f3+⋯+f2n-1,
所以 an=an-1+4n-1n⩾2．
29. 已知数列 an 的通项公式 an=9n2-9n+29n2-1．
(1)求这个数列的第 10 项．
【解】 a10=9×102-9×10+29×102-1=2831．
(2)99100 是否为该数列的项，为什么？
【解】 9n2-9n+29n2-1=1-9n-39n2-1=99100，整理得 n2-100n+2999=0，无整数解，
所以 99100 不是该数列的项．
30. 已知数列 an 的通项公式 an=n2-5n+4．
(1)18 是数列的第几项？
【解】 n2-5n+4=18，解得 n=7，所以 18 是数列 an 的第 7 项．
(2)判断 n 为何值时 an 有最小值，并求出这个最小值．
【解】 因为 an=n2-5n+4，
所以 n=2 或 n=3 时，an 有最小值，最小值为 -2．
31. 已知函数 fx=abx 的图象过点 A4,14 和 B5,1
(1)求函数 fx 的解析式；
【解】 由 14=ab4，1=ab5 得 b=4，a=11024，故 fx=4x1024．
(2)记 an=log2fn，n 是正整数，Sn 是数列 an 的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn⩽0．
【解】 由题意
an=log24n1024=2n-10,
Sn=n2a1+an=nn-9,
anSn=2nn-5n-9,
由 anSn⩽0，n>0 得：
n-5n-9⩽0,
即
5⩽n⩽9.
故 n=5，6，7，8，9．
(3)对于（2）中的 an 与 Sn，整数 96 是否为数列 anSn 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．
【解】 a1S1=64，a2S2=84，a3S3=72，a4S4=40，
当 5⩽n⩽9 时，
anSn⩽0;
当 n⩾10 时，
anSn⩾a10S10=100.
因此，96 不是数列 anSn 中的项．
32. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元．
(1)用 d 表示 a1 与 a2，并写出 an+1 与 an 的关系式．
【解】 由题意得 a1=20001+50%-d=3000-d，
a2=a11+50%-d=32a1-d=4500-52d，
an+1=an1+50%-d=32an-d．
(2)如果企业的生产规模仅与投入的资金有关，为保证企业生产规模持续扩大，求 d 的取值范围．
【解】 一方面，企业生产规模扩大，需 an+1>an，a1>2000，即 an>2d 对任意正整数 n 恒成立．
将 n=1 代入上式，得 d<1000．
另一方面，由（1）得
an=32an-1-d=322an-2-32d-d=322an-2-d1+32=⋯=32n-1a1-d1+32+322+⋯+32n-2.
整理得
an=32n-13000-d-2d32n-1-1=32n-13000-3d+2d.
由题意可知，当 d<1000 时，an 随 n 的增大而增大．
所以 d 的取值范围是 0,1000．
(3)当 d=500 万元时，公司经过多少年可使得剩余资金不少于 4000 万元？
【解】 由题意得 an⩾4000,d=500,
所以 32n-13000-3×500+2×500⩾4000．
解得 n⩾3．
故当 d=500 万元时，公司经过 3 年可使得剩余资金不少于 4000 万元．
33. 已知数列 an 的通项公式为 an=14n2-1712n+136，问 12 是否为数列 an 中的项？
【解】 依题意，实际上要判断关于 n 的方程 12=14n2-1712n+136 是否有正整数解．解方程得：n=4 或 n=53（舍），所以 12 是数列 an 中的第四项．
34. 已知数列 an 中，a1=32，a17=-32，通项公式是项数 n 的一次函数．
(1)求数列 an 的通项公式；
【解】 设 an=an+b，则 a1=a+b=32，① a17=17a+b，② 由 ①② 得 a=-4，b=36．所以 an=-4n+36n∈N*．
(2)-88 是否是数列 an 中的项？
【解】 令 -4n+36=-88，得 n=31．所以 -88 是数列 an 中的项．
(3)该数列从第几项起开始为负？
【解】 令 -4n+36<0，则 n>9．所以 数列 an 从第 10 项起为负．
35. 对于项数为 m 的有穷数列 an，记 bk=maxa1,a2,⋯,akk=1,2,⋯,m，即 bk 为 a1,a2,⋯,ak 中的最大值，并称数列 bn 是 an 的控制数列．
(1)写出数列 1，3，2，5，5 的控制数列；
【解】 数列 1，3，2，5，5 的控制数列是 1，3，3，5，5．
(2)若各项均为正整数的数列 an 的控制数列为 2，3，4，5，5，写出所有的数列 an．
【解】 数列 an 为 2，3，4，5，1 或 2，3，4，5，2 或 2，3，4，5，3 或 2，3，4，5，4 或 2，3，4，5，5．
36. 已知数列 an 中，a1>0，且 an+1=3+an2．
(1)试求 a1 的值，使得数列 an 是一个常数数列；
【解】 欲使数列 an 是一个常数数列，则
an+1=3+an2=an,
又由 a1>0，可以推得
an>0.
解得
an=32.
所以
a1=an=32.
(2)试求 a1 的取值范围，使得 an+1>an 对任何自然数 n 都成立；
【解】 an+1-an=3+an2-3+an-12=an-an-123+an2+3+an-12n⩾2.
因为
23+an2+3+an-12>0.
所以 an+1-an，an-an-1，⋯，a2-a1 有相同的符号．
要使 an+1>an 对任意自然数 n 都成立，只须 a2-a1>0 即可．
所以由
3+a12-a1>0
解得：
032 时，an+1<an 对任何自然数 n 都成立．
因此当 a1=4 时，an+1-an<0．
所以
Sn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=a2-a1+a3-a2+⋅⋅⋅+an+1-an=a1-a2+a2-a3+⋅⋅⋅+an-an+1=a1-an+1=4-an+1.
又
an+232.
故 Sn<4-32=52．
37. 已知数列 an 的通项公式为 an=n2-5n+4．
(1)数列中有多少项是负数？
【解】 由 an<0，得 n2-5n+4<0，
∴12）．
(1)写出 an 的前 6 项；
【解】 由递推公式可得：a3=a1+a2=1+2=3，同理得 a4=5，a5=8，a6=13．
(2)若数列 bn 满足 bn=an+1an，写出这个数列的前 5 项．
【解】 由（1）和公式可得 b1=a2a1=2，b2=a3a2=32，同理 b3=53，b4=85，b5=138．
课后练习
1. 已知数列 an 的通项公式是 an=n2-8n+12，那么该数列中为负数的项一共有 项．
2. 观察分析下列数据：0，-3，6，-3，23，-15，32，⋯，根据数据排列的规律得到第 10 个数据应是 ．
3. 已知数列 an 中，a1=12，an+1=1-1ann⩾2，则 a16= ．
4. 已知数列 an 满足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an,n∈N*，则 a2009= ；a2014= ．
5. 将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作 aiji,j∈N*，如第 2 行第 4 列的数是 15，记作 a24=15，则由序数对 a82,a28 是 ．
14516⋯23615⋯98714⋯10111213⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6. 数列 -2n2+9n+3 的最大项是 ．
7. 已知数列 an 中，a1=2，an+1=1+1nan，则 a5= ．
8. 已知 a1=1，an=1+1an-1（n⩾2），则 a5= ．
9. 设函数 fx 定义如下表．若数列 xn 满足 x1=2，且对任意的正整数均有 xn+1=fxn，则 x2011= ．
x12345fx41352
10. 数列 -1，4，-16，64，-256，⋯ 的一个通项公式 an= ．
11. 对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的"分裂"：2335，337911，4313151719，仿此，若 m3 的“分裂数”中有一个是 59，则 m 值是 ．
12. 数列 an 的通项公式为 an=11+2+3+⋯+2n-1n∈N*，则 a3= ．
13. 古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，⋯ 叫做三角数，它有一定的规律性，第 2011 个三角数与第 2010 个三角数的差为 ．
14. 已知数列 an 满足：an⩽an+1，an=n2+λn,n∈N*，则实数 λ 的最小值是 ．
15. 数列 an 的通项公式为 an=2n2-15n+3，则它的最小项是第 项．
16. 已知数列 an 满足 a1=1，an+1=2an，把数列 an 的各项排成如右图的三角形状的数表（每行是奇数个，每行比前行的个数多 2 个），则第 10 行从左起的第 10 个数是 ．
17. 已知数列 an 满足 a1=-2 ， an+1=2+2an1-an ，则 a4= ．
18. 一个数列的通项公式是 an=n2n2+1．（1）它的前五项依次是 ；（2）0.98 是其中的第 项．
19. 已知数列 an 满足 a1=a，an=1an-1+1n⩾2，若 a4=0，则 a= ．
20. 已知数列 an 满足 a1=1，a2=2，an+2=1+cos2nπ2⋅an+sin2nπ2n∈N*，则 a5⋅a6= ．
21. 已知数列 an 的通项公式为 an=9n2-9n+29n2-1．
(1)求这个数列的第二项；
(2)试判断 98101 是不是该数列中的项，并说明理由．
22. 设数列 an 满足 a1=1，an+1=2an+1，求 a2，a3，a4，a5，并写出数列 an 的通项公式（不用证明）．
23. 在数列 an 中，a1=2，a17=66，通项公式是项数 n 的一次函数．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) 88 是否是数列 an 中的项．
24. 根据数列的通项公式 an 写出它的前 4 项．
(1) an=nn+2；
(2) an=-1nn．
25. 在数列 an 中，已知 an=n2+n-13n∈N*．
(1)写出 a10，an+1，an2；
(2)7923 是否是此数列中的项？若是，是第几项？
26. 设二次方程 anx2-an+1x+1=0n∈N+ 有两个根 α，β 且满足 6α-2αβ+6β=3．
(1)试用 an 表示 an+1；
(2)当 a1=76 时，求数列 an 的通项公式．
27. 已知数列 an 的通项公式为 an=14-3n．
(1)写出数列 an 的前 6 项；
(2)当 n⩾5 时，证明 an<0．
28. 已知数列 9n2-9n+29n2-1．
(1)求这个数列的第 10 项；
(2) 98101 是不是该数列中的项？并说明理由．
29. 已知数列 an 满足 a1=12，an+1=2an+2n-2,n为奇数-an-n,n为偶数，bn=a2n，其中 n∈N+．
(1)求 a2+a3 的值；
(2)判断数列 bn 是否为等比数列，并证明你的结论．
30. 已知一个数列的通项公式是 an=30+n-n2．
(1)问 -60 是否是这个数列中的项？
(2)当 n 分别为何值时，an=0，an>0，an<0 ？
(3)当 n 为何值时，an 有最大值？并求出最大值．
31. 已知数列 an 的通项公式为 an=cn+dn-1，且 a2=32，a4=32，求 a10．
32. 已知数列 an 的通项公式是关于 n 的一次多项式，且 a1=2，a17=66，求这个数列的通项公式．
33. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3⋯．
(1)求 a1，a2；
(2)求 Sn 与 Sn-1（n⩾2）的关系式，并证明数列 1Sn-1 是等差数列．
(3)求 S1⋅S2⋅S3⋯S2010⋅S2011．
34. 已知数列 an 的通项公式为 an=30+n-n2．
(1)试判断 -60 是不是该数列中的项；
(2)当 n 为何值时，an 有最大值？并求出最大值．
35. 已知函数 fx=log2x-logx400 的 E 数列 An．
26. 数列 an 满足 a1=1，an+1=n2+n-λann=1,2,⋯，λ 是常数．
(1)当 a2=-1 时，求 λ 及 a3 的值．
(2)数列 an 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
(3)是否存在实数 λ，使得 n>3 时，an<0 ？若存在，求出 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．
27. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=2an-4n+7，其中 n=1,2,3,⋯．
(1)计算 a2，a3，a4 的值；
(2)根据计算结果猜想 an 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
28. 已知数列 an 满足 a1=2，an+1=an2+12an（n∈N*），设 bn=an-1an+1.
(1)求证：bn+1=bn2．
(2)求数列 bn 的通项公式．
29. 已知数列 an 的通项公式为 an=n2-n-30．
(1)求数列的前三项，60 是此数列的第几项？
(2) n 为何值时，an=0，an>0，an<0 ？
(3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最值？说明理由．
30. 已知 a，b 为常数，数列 xn 由下表确定：
n12345xn=an+b5-1
试将表格填写完整并作出这个数列的图象．
31. 已知数列 an 满足 a1=2，an+1=4an+2n+1n∈N*．
(1)令 bn=an2n+1，求证：数列 bn 为等比数列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)求满足 an⩾240 的最小正整数 n．
32. 在各项为正的数列 an 中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn=12an+1an．
(1)求 a1，a2，a3；
(2)由（1）猜想数列 an 的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
33. 设数列 an 的首项 a1=aa∈R，且 an+1=an-3,an>3 时,-an+4,an⩽3 时. n=1,2,3,⋯．
(1)若 00，且 f1=log162，f-2=1．
(1)求函数 fx 的表达式；
(2)已知数列 xn 的项满足 xn=1-f11-f2⋯1-fn，试求 x1,x2,x3,x4；
(3)猜想 xn 的通项．
38. 正项数列 an 满足 an2+an=3an+12+2an+1，a1=1．
(1)求 a2 的值；
(2)证明：对任意的 n∈N*，an⩽2an+1；
(3)记数列 an 的前 n 项和为 Sn，证明：对任意的 n∈N*，2-12n-1⩽Sn<3．
39. 已知数列 an,a1=1，a2n=an，a4n-1=0，a4n+1=1，n∈N*．
(1)求 a4，a7；
(2)是否存在正整数 T，使得对任意的 n∈N*，有 an+T=an；
(3)设 S=a110+a2102+a3103+⋯+an10n+⋯，问 S 是否为有理数，说明理由．
40. 已知数列 an 满足：an=2an-1+2n-1n∈N+,n⩾2，且 a4=65．
(1)求数列 an 的前三项；
(2)是否存在一个实数 λ，使数列 an+λ2n 为等差数列？若存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由；
(3)求数列 an 的前 n 项和 Sn．
微信/支付宝扫码支付下载