高中数学必修2教案：第四章 4_1_1圆的标准方程 9页

‎4．1　圆的方程 ‎4．1.1　圆的标准方程 ‎[学习目标]　1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．‎ ‎2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．‎ ‎3．平面上两点间的距离公式d＝.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．圆的定义及圆的标准方程 ‎(1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．‎ 其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．‎ ‎(2)圆的标准方程 ‎2．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：‎ ‎(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：‎ 若|CM|＝r，则点M在圆上；‎ 若|CM|>r，则点M在圆外；‎ 若|CM|r2；‎ 点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2r2时，点在圆外．‎ 跟踪演练1　点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)‎ A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 答案　A 解析　把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．‎ 要点二　求圆的标准方程 例2　求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．‎ 解　方法一　设点C为圆心，‎ ‎∵点C在直线x＋y－2＝0上，‎ ‎∴可设点C的坐标为(a,2－a)．‎ 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.‎ ‎∴＝，‎ 解得a＝1.‎ ‎∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.‎ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 方法二　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，‎ 由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，‎ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 规律方法　直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．‎ 跟踪演练2　以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100‎ C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25‎ 答案　D 解析　∵点A(－3，－1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2)，‎ ‎∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，‎ 半径r＝＝5.‎ ‎∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.‎ 要点三　圆的方程的综合应用 例3　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，‎ ‎(1)求此圆的标准方程；‎ ‎(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．‎ 解　(1)由已知，得C(3,0)r＝＝2，‎ ‎∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.‎ ‎(2)圆心C到直线x－y＋1的距离 d＝＝2.‎ ‎∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.‎ 规律方法　解答例3应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解．‎ 跟踪演练3　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．‎ 解　设P(x，y)，‎ 则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.‎ ‎∵|CO|2＝32＋42＝25，‎ ‎∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.‎ 即16≤x2＋y2≤36.‎ ‎∴d的最小值为2×16＋2＝34.‎ 最大值为2×36＋2＝74.‎ ‎1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)‎ A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3‎ C．(－2,3)， D．(2，－3)， 答案　D 解析　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.‎ ‎2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)‎ A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4‎ C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 答案　B 解析　以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.‎ ‎3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．‎ ‎4．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．‎ 答案　5‎ 解析　C1圆心为(5,3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝＝5.‎ ‎5．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________．‎ 答案　x2＋(y－1)2＝1‎ 解析　由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．‎ ‎2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．‎ 一、基础达标 ‎1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9‎ B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3‎ C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3‎ D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9‎ 答案　D 解析　由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.‎ ‎2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ 答案　D 解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，‎ 又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，‎ 所以直线l的斜率k＝1.‎ 由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.‎ ‎3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　)‎ A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4‎ B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4‎ C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4‎ D．(x－3)2＋y2＝4‎ 答案　A 解析　已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.‎ ‎4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是(　　)‎ A．－