2019-2020学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一上学期期中数学试题（解析版） 18页

‎2019-2020学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以，故选A.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．若命题，，则该命题的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得选项.‎ ‎【详解】‎ 根据特称命题的否定是全称命题，得，因为命题，，则该命题的否定为，，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.‎ ‎3．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先解不等式，得出两个命题所表示的解的集合的关系，再分别判断命题的充分性和必要性是否成立.‎ ‎【详解】‎ 解不等式，得；解不等式，得或。‎ 设集合，或。‎ 充分性：因为，故充分性成立；‎ 必要性：当或时，不一定成立，故必要性不成立；‎ 综上可得“”是“”的充分而不必要条件。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件与必要条件的判断，注意需从充分性和必要性两个方面分别判断，属于基础题。‎ ‎4．函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断,的符号,再根据函数零点的判定定理,可求得结论.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的定义域是，所以无意义，‎ 而，，，,‎ 所以根据零点存在定理得函数的零点所在的区间为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点存在定理,注意需判断区间端点的函数值的符号，属于基础题.‎ ‎5．对于任意实数、、、，命题：①若，，则； ②若，则； ③，则；④若且，则； ⑤若，，则.其中真命题的个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【解析】对于①项，举反例，当时，，可判断①项；‎ 对于②项，举反例，当时，，可判断②项；‎ 对于③项，由，所以即，所以，可判断③项；‎ 对于④项，举反例，取，满足且，但此时，可判断④项；‎ 对于⑤项，举反例，当，时，满足，此时，可判断⑤项；‎ ‎【详解】‎ ‎①项，当时，，故①项错误；‎ ‎②项，当时，，故②项错误；‎ ‎③项，由，得即，所以，故③项正确；‎ ‎④项，取，满足且，但此时，故④项不正确；‎ ‎⑤项，当，时，满足，此时，故⑤项错误；‎ 综上所述，正确命题为③。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用不等式的性质判断所给的不等式的不等关系是否成立，属于基础题，注意在运用不等式的性质需严格地满足不等式性质所需的条件。‎ ‎6．若函数，则的值为（ ）‎ A．1 B．3 C．4 D．-4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分段函数的解析式，将自变量代入相应的解析式中可求得函数值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，又，所以，所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的函数值的求解，注意将自变量代入相应的解析式中计算，属于基础题.‎ ‎7．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知得函数的对称轴，解之可得选项.‎ ‎【详解】‎ 由已知得函数的对称轴，解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的单调性，注意得出二次函数的对称轴与所需判断的区间的关系，属于基础题.‎ ‎8．二次函数的图象如图所示，设，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．、的大小关系不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】先由二次函数的图像得出，，再得出和，从而可化简，对作差再判断其符号，可得选项.‎ ‎【详解】‎ 由二次函数的图像可得，，‎ 由和得，所以，由得，‎ 所以，‎ ‎，又，‎ 所以，所以. ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的图像问题，属于基础题，对于二次函数的图像常常在图像上观察图像的开口方向，对称轴的位置，顶点的位置，特殊点的函数值的正负.‎ ‎9．已知函数满足，,则的值为（ ）‎ A．15 B．30 C．60 D．75‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题目条件,运用赋值法令,得到，再化简所求表达式可得值.‎ ‎【详解】‎ 由,令,得.所以 ‎ , 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数及其应用,关键在于根据所求的表达式对已知的抽象函数关系式赋值得到所需的函数值,属于中档题.‎ ‎10．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数为奇函数且在单调递减，可得在上单调递减，且，又由，得，由此可得，当或时，，；当或时，，将不等式等价于或，解之可得选项.‎ ‎【详解】‎ 因为为奇函数且在单调递减，故在上单调递减，且，又，故。‎ 由以上可知，当或时，，；当或时，，‎ 故不等式等价于或，即或，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用奇函数的图像的对称性与函数的单调性的关系，求解抽象不等式，关键在于由奇函数的性质和图像特征得出函数值在相应区间的符号，属于中档题.‎ ‎11． 设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为 A．； B． C．； D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件得：‎ ‎∴函数y=f（x+a）+f（x-a）的定义域就是集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集．‎ ‎（1）当a＞1/2时，1-a＜a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，‎ ‎∴此时，函数y没有意义；‎ ‎（2）当0≤a≤1/2时，-a≤a≤1-a≤1+a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|a≤x≤1-a}，‎ 即函数y的定义域为{x|a≤x≤1-a}；‎ ‎（3）当-1/2≤a＜0时，a＜-a≤1+a＜1-a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为{x|-a≤x≤1+a}，‎ 即函数y的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；‎ ‎（4）当a＜-1/2时，1+a＜-a，‎ 集合{x|-a≤x≤1-a}与{x|a≤x≤1+a}的交集为空集，‎ ‎∴此时，函数y没有意义．‎ 要使函数f（x-a）+f（x+a）有定义，a∈故选B．‎ ‎12．函数的定义域为，则函数的值域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件得的定义域满足,得的定义域为,再将代入得，根据二次函数的单调性可求得值域.‎ ‎【详解】‎ 由已知函数的定义域为, 则的定义域满足,所以,‎ 所以的定义域为,‎ 所以 ，‎ ‎， 所以在单调递减, 在单调递增,  则当 时，的最小值为 ，‎ 当 时，的最大值为，‎ 所以的值域为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的定义域和解析式，以及二次函数的值域，在本题中注意先根据复合函数的定义域求出目标函数的定义域，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．《九章算术》第八章“方程”问题八：今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足.卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百.问牛、羊、豕各几何？“如果卖掉2头牛和5只羊，可买13口猪，还余1000钱；卖掉3头牛和3口猪的钱恰好可买9只羊；而卖掉6只羊和8口猪，去买5头牛，还少600钱.问牛、羊、猪的价格各是多少”.按照题意，可解出牛______钱、羊______钱、猪______钱.‎ ‎【答案】1200 500 300 ‎ ‎【解析】设出未知数，根据题意列出三元一次方程组，解之可求得其解.‎ ‎【详解】‎ 设每头牛的价钱是元，每只羊的价钱是元，每头猪的价钱是元．  根据题意，得   解这个方程组，得   故答案为：1200，500，300.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学文化的应用，关键在于将古典数学中的语言转化成现代语言，并且能转化成数学符号表示其关系，属于基础题.‎ ‎14．已知两个正数，满足：，则的最小值为______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】根据已知条件观察得在等式的左边是和的形式，右边是积的形式，目标是求积的形式的最小值，根据基本不等式将和的形式转化成积的形式，再令，求解不等式可得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，是两个正数，运用基本不等式可得, 当且仅当“”时，取等号，‎ 令,即,可得. 即得到,可解得或. 又注意到,故解为, 所以. 故答案为:18.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的和与积的形式的不等关系的转化，在运用时注意需满足运用基本不等式的条件：“一正，二定，三相等”，属于基础题.‎ ‎15．如果关于的方程的两根分别在区间和内，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先满足二次项的系数不等于零和一元二次方程的根的判别式大于零，再分二次系数大于零和二次项系数小于零两种情况讨论，根据一元二次方程的根的分布条件得出需满足当时，或当时，，解之可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，由已知得且 ‎，即且，所以，‎ 当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得，‎ 当时，要使关于的方程的两根分别在区间和内，则需满足，即解得无解，‎ 综上可知：实数的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程的根和二次函数之间的关系，在满足一元二次方程的根的区间时，常需考虑对应的二次函数的判别式的符号，函数图像的开口方向，对称轴，特殊函数值的符号等方面，属于中档题.‎ ‎16．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据分式方程去分母得一元二次方程，再根据已知条件得出该一元二次方程的判别式和根的情况，得到关于的方程，求解可得的取值集合.‎ ‎【详解】‎ 对关于的方程去分母,得，要使关于的方程的解集中只含有一个元素，‎ 则方程有两个相等的实数根，且该根不等于2，或者方程 有两个不等的实数根，且这两根中只有一个根是0或是2,‎ 当方程有两个相等的实数根，且该根不等于2，此时，解得，经检验得此时方程的根不等于2；所以满足题意；‎ 当方程有两个不等的实数根，且这两根中只有一个根是0或是2,此时，解得，当方程的根为0时，即，解得，满足；当方程的根为2时，即，解得，满足，‎ 综上可得：的取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式方程和一元二次方程的根的情况，注意分式方程中的增根情况，这是比较容易漏掉的情况，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先化简集合B,当时得集合A,根据集合的并集运算得解；‎ ‎ (2)由得，再分和两种情况得关于的不等式,解之可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ 当时，即时，符合题意，此时，‎ 当时，，‎ 解得.‎ 综上，的范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的并集运算和根据集合的并集运算结果得出集合间的子集关系，在求解关于子集的问题时，注意子集是空集的情况的讨论，属于基础题.‎ ‎18．为了鼓励节约用电，辽宁省实行阶梯电价制度，其中每户的用电单价与户年用电量的关系如下表所示.‎ 分档 户年用电量（度）‎ 用电单价（元/度）‎ 第一阶梯 ‎0.5‎ 第二阶梯 ‎0.55‎ 第三阶梯 ‎0.80‎ 记用户年用电量为度时应缴纳的电费为元.‎ ‎（1）写出的解析式；‎ ‎（2）假设居住在沈阳的范伟一家2018年共用电3000度，则范伟一家2018年应缴纳电费多少元？‎ ‎（3）居住在大连的张莉一家在2018年共缴纳电费1942元，则张莉一家在2018年用了多少度电？‎ ‎【答案】（1）；（2）1518元；（3）3755度.‎ ‎【解析】（1）根据每户的用电单价与户年用电量的关系表，分别得出，，的函数解析式，可得函数的解析式；‎ ‎（2）居住在沈阳的范伟一家2018年共用电3000度，表示的是当时，‎ 的函数值，将代入相应的区间可得值；‎ ‎（3）居住在大连的张莉一家在2018年共缴纳电费1942元，表示的是当为何值时，的函数值是1942，此时验证所在的分段函数的区间，建立相应的方程，求解可得值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据每户的用电单价与户年用电量的关系表，可以得出：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以；‎ ‎（2）由条件得，所以范伟一家2018年应缴纳电费为元，‎ 所以范伟一家2018年应缴纳电费为1518元;‎ ‎（3）若张莉一家在2018年用了3720度电，则所交的电费为，所以张莉一家在2018年用的电的度数大于3720度，所以设张莉一家在2018年用的电为度，则，且，解得，所以张莉一家在2018年用了3755度电.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查生活实际运用中的分段函数模型，注意仔细理解生活实际中的语言转化为数学中的数学符号和数学语言，属于基础题.‎ ‎19．求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.‎ ‎【解析】对分，，，，分五种情况分别讨论解不等式，可得解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，原不等式可化为，解得.‎ ‎（2）当时，原不等式可化为，且，‎ 若时，，且，所以的解集为，‎ 若时，，且，所以的解集为，‎ 若时，，且，所以的解集为，‎ 若时，，且，所以的解集为.‎ 综上所述，当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为或.‎ ‎【点睛】‎ 解方程时,要先确定是哪种方程,才能应用相应的解法来求解.如果未知数的系数含有字母(参数),要结合题意,对系数中的字母(参数)进行分类讨论，讨论时一般考虑：二次项系数是否为零、二次项系数不为零时，一元二次不等式所对应的方程是否有根、有根时，能否判断两根的大小，分类讨论时需分类不重复、不遗漏，属于中档题.‎ ‎20．已知：且，求证：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】先解三元一次方程组，求得的值，再代入，得，巧用“1”， 展开运算后运用基本不等式可得证.‎ ‎【详解】‎ 解方程组得，‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎，‎ 所以，当且仅当，，时，等号成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，关键在于“1”的妙用，构造成所需的基本不等式，属于基础题.‎ ‎21．研究函数的性质，并在规定区域内画出草图.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】由分母不为零得函数的定义域，根据得函数的奇偶性，根据函数的单调性的定义设，且，作差判断其符号，可得出函数的单调性，再根据函数的单调性可得出函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 做出函数的图像如下图所示，‎ ‎（1）由分母得函数的定义域为：；‎ ‎（2）因为，所以是偶函数.‎ ‎（3）因为函数是偶函数，所以只需证明时函数单调性的情况即可，设，且，‎ ‎，又，，‎ 当时，，；‎ 当时，， ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减； ‎ 所以在和上单调递减；在和上单调递增，‎ 又，所以函数的值域为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质研究，研究函数的性质，一般研究函数的定义域、奇偶性、单调性和值域，属于基础题.‎ ‎22．已知函数，有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.‎ ‎（1）已知，，利用上述性质，求的单调区间和值域；‎ ‎（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数的值. ‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为；；（2）3.‎ ‎【解析】（1）先将函数变形为，根据题目已知条件可得函数的单调区间和值域；‎ ‎（2）由求得函数的值域，由已知得的值域是 的值域的子集，建立关于的不等式，解之可得实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 设，∵，∴，由，可得 当时，即时，单调递减，‎ ‎∴函数的单调递减区间为，‎ ‎ 当时，即时，单调递增，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 由，，，得的值域为.‎ ‎（2）为减函数，‎ 故当时，，‎ 由题知的值域是的值域的子集，‎ ‎∴，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比函数的性质研究新函数的性质和任意、存在的问题，关键在于需知：,,均有恒成立，则需，属于难度题.‎