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- 2021-06-19 发布
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课时跟踪检测（三） 不等式的性质及一元二次不等式
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1．下列结论正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a2>b2，则a>b
C．若a>b，c<0，则a＋cbc2，所以A错；选项B中，当a＝－2，b＝－1时，满足a2>b2，不满足a>b，所以B错；选项C中，a＋c>b＋c，所以C错；选项D中，因为0≤<，所以a1”是“x2＋2x>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.
3．(2019·江淮十校联考)|x|·(1－2x)>0的解集为( )
A．(－∞，0)∪ B.
C. D.
解析：选A 原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(－∞，0)∪.
4．(2019·遂宁诊断)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B.>
C．a－>b－ D.>
解析：选A 不妨取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立，因此a－>b－⇔a＋>b＋，故选A.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·郑州模拟)已知p：>，q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由>得00，必有或则0≤a<4，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
解析：选A ∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－，－，∴－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，又x2－bx－a<0，∴x2－5x＋6<0，∴(x－2)(x－3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．
3．(2019·深圳中学模拟)已知a>b>0，c<0，下列不等关系中正确的是( )
A．ac>bc B．ac>bc
C．loga(a－c)>logb(b－c) D.>
解析：选D 因为c<0，a>b，所以ac0，所以>成立，故D正确．选D.
4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10的解集为{x|－2x·10%，且(x－200)×20%>30，解得x>400，选B.
7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－2,1)
C．(－2,0) D．(－，)
解析：选A 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得0b>1，c<0，在不等式①>；②ln(a＋c)>ln(b＋c
)；③(a－c)c<(b－c)c；④bea>aeb中，所有正确命题的序号是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析：选B ∵a>b>1，∴0<<，又c<0，∴>，∴①正确；∵a>b>1，c<0，∴不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此时ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，∴②错误；易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a－c>b－c>0，c<0，∴(a－c)c<(b－c)c，∴③正确；令y＝(x≠0)，则y′＝，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函数y＝在(1，＋∞)上单调递增，∵a>b>1，∴>，即bea>aeb，∴④正确，故选B.
10．(2019·启东中学调研)已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为________．
解析：由已知及三角形的三边关系得
∴∴
两式相加得，0<2×<4，∴的取值范围为(0,2)．
答案：(0,2)
11．(2019·青岛模拟)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，由条件可得a>1，b>0，则a＋b>1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b<1，故①正确．对于②，令a＝2，b＝，则－＝1，但a－b＝>1，故②错．对于③，令a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3>1，故③错．对于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由条件可得，a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2>1，则|a－b|<1，故④正确．综上，真命题有①④.
答案：①④
12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以令f(x)＝0，有Δ<0或解得10.所以原不等式即为k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.
答案：[1,4]
14．(2019·南昌模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋3)＝2f(x)，当x∈[－1,2)时，f(x)＝若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，则实数t的取值范围是_________．
解析：由题意知f(x)＝f(x＋3)．当x∈[－1,0)时，f(x)＝x2＋x＝2－∈；当x∈[0,2)时，f(x)＝－|x－1|∈.所以当x∈[－1,2)时，f(x)min＝－1.故当x∈[－4，－1)时，x＋3∈[－1,2)，所以f(x＋3)min＝－1，此时f(x)min＝×(－1)＝－.由存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，可得t2－3t≥4×，解得t≤1或t≥2.
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
15．(2019·南昌摸底)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.
解：(1)由题意知a<0，且－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，
则∴
(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，
∵a>0，∴f(x)>0可化为(x＋1)>0，
①当≥－1，即a≥1时，
不等式的解集为；
②当<－1，即0(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，求实数
a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
解：(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的实数x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1(x∈[－1,1])，
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，得a>－，所以a∈∅；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－1时，g(x)min＝g(1)＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.
综上，a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)<0，
因为1－＝，
所以当－－，解集为.
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