人教版高三数学总复习课时作业15 10页

课时作业15　导数与函数极值、最值 一、选择题 ‎1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)‎ A. B．－ C．－ln2 D．ln2‎ 解析：y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.‎ 答案：B ‎2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.‎ ‎∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．‎ ‎∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.‎ 答案：C ‎3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)‎ 解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x ‎＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.‎ 答案：D ‎4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)‎ A．－13 B．－15‎ C．10 D．15‎ 解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，‎ 由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，‎ 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.‎ 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，‎ 易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，‎ ‎∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.‎ 又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，‎ ‎∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.‎ 故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.‎ 答案：A ‎5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　)‎ A．－2或2 B．－9或3‎ C．－1或1 D．－3或1‎ 解析：∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.‎ 则x，y′，y的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ y′‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ y  c＋2‎  c－2‎  因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.‎ 答案：A ‎6．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，若1和－1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1·x2等于(　　)‎ A．－1　　　B．1　　　C．－　　　D. 解析：f(x)＝x(ax2＋bx＋c)，若1和－1是函数f(x)的两个零点，即1和－1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，‎ 则解得b＝0，c＝－a，‎ ‎∴f(x)＝ax3－ax，f′(x)＝3ax2－a.‎ 又由题意知x1和x2是f′(x)＝0的两根，‎ 所以x1x2＝＝－，故选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．‎ 解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，‎ ⇒ ‎∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.‎ ‎∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是________．‎ 解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.‎ 答案：(－∞，－20]‎ ‎9．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列是关于函数f(x)的命题：‎ ‎①函数f(x)的值域为[1,2]；‎ ‎②函数f(x)在[0,2]上是减函数；‎ ‎③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当10；‎ 当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．‎ 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．‎ ‎11．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.‎ ‎(1)若a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．‎ 解：(1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝或x＝2，‎ 由f′(x)>0得x∈或x∈(2，＋∞)，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．‎ ‎(2)因为f′(x)＝，a<0，‎ 由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.‎ 当x∈时，f(x)单调递增；‎ 当x∈时，f(x)单调递减，‎ 当x∈时，f(x)单调递增，‎ 易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.‎ ‎①当－≤1时，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．‎ ‎②当1<－≤4时，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．‎ ‎③当－>4时，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，‎ 由f(4)＝2(64＋16＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，‎ 当a＝－10时，f(x)在(1,4)单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上有，a＝－10.‎ ‎1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．∃x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ 解析：由x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图象大致如右图所示，由图可知f(x)在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．‎ 答案：C ‎2．已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)>－ B．f(x1)<0，f(x2)<－ C．f(x1)>0，f(x2)<－ D．f(x1)<0，f(x2)>－ 解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.‎ 即曲线y1＝1＋lnx与y2＝2ax有两个不同交点，如图．‎ 由直线y＝x是曲线y1＝1＋lnx的切线，可知：0<2a<1，且00，当x>x2时，f′(x)<0，‎ ‎∴f(x2)>f(1)＝－a>－.‎ 答案：D ‎3．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为f(x)＝－x2＋x＋1，‎ 所以f′(x)＝x2－ax＋1.‎ 又f(x)在区间上有极值点，‎ 即f′(x)＝0在有一个解或者两个不相同的解．‎ 当有一解时，需f′f′(3)≤0，‎ 解得≤a≤，经检验a＝不成立，‎ 所以≤a<；‎ 当有两解时，依题意可得 解得20，所以a＝b.‎ 又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.‎ ‎(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，‎ 那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．‎ ‎(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，‎ 而2e2x＋2e－2x≥2＝4，当x＝0时等号成立．‎ 下面分三种情况进行讨论．‎ 当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；‎ 当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；‎ 当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1,2＝>0，‎ 即f′(x)＝0有两个根x1＝lnt1或x2＝lnt2.‎ 当x1x2时，f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．‎ 综上，若f(x)有极值，则c的取值范围是(4，＋∞)．‎