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  • 2021-06-19 发布

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练:导数及其应用

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北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 ‎1、(昌平区2019届高三上学期期末)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若,判断函数的零点个数,并说明理由.‎ ‎2、(朝阳区2019届高三上学期期末)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数的极小值;‎ ‎(Ⅱ)当时,讨论的单调性;‎ ‎(Ⅲ)若函数在区间上有且只有一个零点,求的取值范围.‎ ‎3、(大兴区2019届高三上学期期末)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若x轴为曲线的切线,求a的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎4、(东城区2019届高三上学期期末)已知函数,a∈R.‎ ‎(Ⅰ) 当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ) 求的单调区间.‎ ‎5、(房山区2019届高三上学期期末)已知函数 ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.‎ ‎6、(丰台区2019届高三上学期期末)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,.‎ ‎7、(海淀2019届高三上学期期末)已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; ‎ ‎(Ⅱ)求证: 当时,.‎ ‎8、(石景山区2019届高三上学期期末)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,若有极小值,求实数的取值范围.‎ ‎9、(通州区2019届高三上学期期末)已知函数. ‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若是上的单调递增函数,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若函数对任意的实数,存在唯一的实数(),使得成立,求的值.‎ ‎10、(朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模))已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值 范围.‎ ‎11、(东城区2019届高三5月综合练习(二模))已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:.‎ ‎12、(丰台区2019届高三5月综合练习(二模))已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数在区间上的最小值;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:过点恰有2条直线与曲线相切.‎ ‎13、(海淀区2019届高三5月期末考试(二模)) 已知函数 .‎ ‎ (I)求曲线在点 处的切线的倾斜角;‎ ‎ (Ⅱ)若函数的极大值大于1,求口的取值范围.‎ ‎14、(门头沟区2019届高三一模)已知在点处的切线与直线平行。‎ ‎(Ⅰ)求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)设.‎ ‎()若函数在上恒成立,求的最大值;‎ ‎()当时,判断函数有几个零点,并给出证明.‎ ‎15、(顺义区2019届高三第二次统练(一模))设函数.‎ ‎(I)若点在曲线上,求在该点处曲线的切线方程;‎ ‎(II)若恒成立,求的取值范围.‎ ‎16、(西城区2019届高三一模)设函数,其中. ‎ ‎(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.‎ ‎17、(延庆区2019届高三一模)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)当时,求函数在上区间零点的个数.‎ ‎18、设函数,‎ ‎(1)若曲线在点处的切线斜率为,求;‎ ‎(2)若在处取得极小值,求的取值范围.‎ ‎19、已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎20、(朝阳区2018届高三3月综合练习(一模))已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程; ‎ ‎(Ⅱ)若,求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若,求证:.‎ 参考答案:‎ ‎1、解:函数的定义域为.‎ ‎.‎ ‎(I)若,,且,‎ 所以曲线在点处的切线方程为,即.……5分 ‎(Ⅱ)令,得,(舍).‎ 变化情况如下表:‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎.‎ ①当,即时,无零点.‎ ②当,即时,只有一个零点.‎ ③当,即时,‎ 因为,,且在上单调递减,‎ 所以在上存在唯一零点;‎ 在上,,.‎ 因为,所以,即.‎ 又,且在上单调递增,‎ 所以在上存在唯一零点;‎ 所以当时,有两个零点.‎ 综上:时,无零点;‎ 时,只有一个零点;‎ 时,有两个零点. ……13分 ‎2、解:(Ⅰ)当时:,令解得,‎ 又因为当,,函数为减函数;‎ ‎ 当,,函数为增函数.‎ 所以,的极小值为. ……………3分 ‎(Ⅱ). 当时,由,得或.‎ ‎(ⅰ)若,则.故在上单调递增;‎ ‎(ⅱ)若,则.故当时,;‎ ‎ 当时,.‎ ‎ 所以在,单调递增,在单调递减.‎ ‎(ⅲ)若,则.故当时,;‎ ‎ 当时,.‎ ‎ 所以在,单调递增,在单调递减.‎ ‎ …………………8分 ‎(Ⅲ)(1)当时,,令,得.‎ 因为当时,,当时,,‎ 所以此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎(2)当时:‎ ‎ (ⅰ)当时,由(Ⅱ)可知在上单调递增,且,,此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎ (ⅱ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合,又,‎ ‎ 只需讨论的符号:‎ 当时,,在区间上有且只有一个零点;‎ 当时,,函数在区间上无零点.‎ ‎ (ⅲ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合,,,此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎ 综上所述,. …………………13分 ‎ ‎3、解:(Ⅰ)由于x轴为的切线,设切点坐标为, ……1分 则,……① ……2分 又,即, ……② ……3分 ‎②代入①,解得,‎ 所以. ……4分 ‎(Ⅱ),‎ ‎  (1)当时,,在单调递增, ……1分 ‎   所以时,取得最小值.‎ ‎   时,取得最大值. ……3分 ‎  (2)当时,,在单调递减, ……4分 ‎   所以,时,取得最小值.‎ 时,取得最大值. ‎ ‎(3)当时,令,解得, ……5分 ‎,,在区间的变化情况如下:‎ ‎0‎ 单调递减↗‎ 极小值 单调递增↘‎ ‎ ‎ ‎ 由上表可知,当时,取得最小值;……7分 由于,,‎ 当时,在处取得最大值, ……8分 当时,在处取得最大值. ……9分 ‎4、解:(Ⅰ)的定义域为,‎ ‎. ‎ 当时,,,‎ 所以曲线在点处的切线方程为.………………………..7分 ‎(Ⅱ) .‎ (1) 当时,,‎ 所以当时,;当时,.‎ 所以的单调递增区间为(–∞,–1),单调递减区间为(–1,+∞).‎ ‎(2) 当时,令,得,.‎ ‎①当,即时,,‎ 所以的单调递增区间为(–∞,+∞),无单调递减区间;‎ ‎②当,即时,‎ 当时,;当时,.‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,;‎ ‎③当,即时,‎ 当时,;当时,.‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,. …………………………………………………………………………………………13分 ‎5、‎ ‎6、解:(Ⅰ)因为. ‎ 所以,,‎ 所以曲线在点处的切线方程. ‎ 整理得: ………………5分 ‎(Ⅱ)先证.‎ 因为,,‎ 所以.‎ 所以函数在上单调递增,‎ 所以,‎ 即.① ………………8分 再证.‎ 设,‎ 则, ‎ 设,‎ 则,由①可知,‎ 所以在上单调递减, .‎ 所以时,.‎ 所以在上单调递减,.‎ 即.② ‎ 综合①②可知:当时,. ………………13分 ‎7、解:(Ⅰ)因为 ‎ 所以 ‎ 当时,‎ 所以,而 ‎ 曲线在处的切线方程为 ‎ ‎(Ⅱ)法一:‎ 因为,令 得 ‎ 显然当时,‎ 所以,,在区间上的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ 所以在区间上单调递减,在单调递增,‎ 所以在上的最小值为,所以只需证明 ‎ 因为,所以 ‎ 设,其中 ‎ 所以 ‎ 当时,,所以在区间单调递增,‎ 因为 ,所以,问题得证 ‎ 法二:‎ 因为,所以当时, ‎ ‎ 设,其中 ‎ 所以 ‎ 所以,,的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在区间上单调递减,在上单调递增,‎ 所以函数在时取得最小值,而 ‎ 所以时 ‎ 所以,问题得证 ‎ 法三:‎ ‎ 因为“对任意的,”等价于“对任意的,”‎ ‎ 即“,”,故只需证“时,” ‎ 设,其中 ‎ 所以 ‎ 设,,‎ 令,得 所以,,的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在处取得极小值,而 ‎ 所以 ‎ 所以时,,所以在上单调递增,得 ‎ 而,所以 问题得证 ‎ ‎8、解:(Ⅰ)当时,,. ‎ ‎ , ‎ ‎ 所以在处的切线方程为. ‎ ‎ (Ⅱ)有极小值函数有左负右正的变号零点. ‎ ‎ ‎ 令,则 令,解得.‎ 的变化情况如下表:‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ ① 若,即,则,所以不存在变号零点,不合题意. ‎ ② 若,即时,,.‎ 所以,使得;‎ 且当时,,当时,.‎ 所以当时,的变化情况如下表:‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 所以. ‎ ‎9、解:(Ⅰ)当时,,‎ 所以,,.‎ 所以曲线在处的切线方程为. …………………………………3分 ‎(Ⅱ)因为在上为单调递增函数,‎ 所以恒成立,即的最小值.‎ 令,则.‎ 在,,单调递减;在,,单调递增.‎ 所以.‎ 所以,即.‎ 所以若是上的单调递增函数,则的取值范围是.……………………7分 ‎(Ⅲ)当时,,‎ 因为,,‎ 所以在单调递减,且;‎ 当时,,‎ 由(Ⅱ)知在递增,且.‎ 若对任意的实数,存在唯一的实数(),使得成立,则 ‎(ⅰ)当时,.所以,即;‎ ‎(ⅱ)当时,.所以,即.‎ 综合(ⅰ)(ⅱ)可得.……………………………………………………13分 ‎10、解:(Ⅰ)当时,,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 又,‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ ‎………….4分 ‎ ‎(Ⅱ)函数的定义域为. ,‎ (1) 当即时,‎ 因为时,,‎ 所以的单调增区间为.‎ (2) 当,即时,令,得.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 所以的单调增区间为,减区间为.‎ 综上,当时,的单调增区间为;‎ 当时,的单调增区间为,减区间为.‎ ‎ ………….9分 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)因为,‎ 所以.‎ 令,.‎ 若函数在区间内有且只有一个极值点,‎ 则函数在区间内存在零点.‎ 又,‎ 所以在内有唯一零点.‎ 且时,‎ 时,‎ 则在内为减函数,在内为增函数.‎ 又因为且在内存在零点,‎ 所以 解得.‎ 显然在内有唯一零点,记为.‎ 当时,,时,,所以在点两侧异号,即在点两侧异号,为函数在区间内唯一极值点.‎ 当时,‎ 又在内成立,‎ 所以在内单调递增,故无极值点.‎ 当时,易得时,故无极值点.‎ 所以当且仅当时,函数在区间内有且只有一个极值点. …….14分 ‎ ‎11、解:(Ⅰ)定义域为,.‎ ‎. .‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ 即.…………….5分 ‎(Ⅱ)记.‎ ‎.‎ 由解得.‎ 与在区间上的情况如下:‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 所以在时取得最小值. ‎ 所以.所以.‎ 所以在上单调递增.‎ 又由知,‎ 当时,,,所以;‎ 当时,,,所以.‎ 所以. ………………………………13分 ‎12、解:(Ⅰ)当时, , ‎ ‎. …………………2分 当时,,‎ 所以在区间上单调递减. …………………4分 所以在区间上的最小值为. …………………5分 ‎(Ⅱ)设过点的曲线的切线切点为,‎ ‎,,‎ 所以 所以.‎ 令,‎ 则 ‎,‎ ‎ 令得或,‎ ‎ 因为,所以.‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 的极大值为, ‎ 的极小值为, ‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 因为,‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 所以在上有且只有两个零点.‎ 即方程有且只有两个不相等实根,‎ 所以过点恰有2条直线与曲线相切. …………………13分 ‎13、解:(Ⅰ)因为,‎ 所以 ‎ 所以, ‎ 所以切线的倾斜角为 ‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎ 当时,令,得 ‎ ‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ 由上表函数只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去 ‎ ‎ 当时,令,得 ‎ 当时, ‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 极大值 由上表函数的极大值,满足题意 ‎ 当时,,‎ 所以函数单调递增,没有极大值,舍去 ‎ 当时,当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 由上表函数的极大值,‎ 解得 ‎ 当时,当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 由上表函数的极大值,不合题意 ‎ 综上,的取值范围是 ‎ ‎14、解:(Ⅰ)由题意得:‎ ‎(Ⅱ)()‎ 当时,若,递增,则 当时,若,在递减,则不恒成立,所以,的最大值为1.‎ ‎(),显然有一个零点0;‎ 设 当时,无零点;所以只有一个零点0‎ 当时,有,所以在上单增,‎ 又,由零点存在定理可知,‎ 所以在上有唯一一个零点,所以有二个零点 综上所述,时,只有一个零点0,时,有二个零点.‎ ‎15、解:(I)因为点在曲线上,‎ 所以,. ---------------------------------------1分 又, ---------------------------------------3分 所以. ---------------------------------------4分 在该点处曲线的切线方程为即 ---------------------------------------5分 ‎(II)定义域为,-------------------------------6分 讨论:(1)当时,‎ 此时在上单调递减,又,不满足-------------8分 ‎(2)当时,令可得 ‎ 列表可得 ‎0‎ 单调递减 单调递增 所以在上单调递减,在上单调递增----------------------10分 所以=,所以令解得 所以的取值范围为. ---------------------------------------13分 或法二:定义域为,恒成立即恒成立,又 所以恒成立。令,‎ 则,由,‎ 所以在单调递增,在上单调递减,‎ 所以 ‎16、解:(Ⅰ)由函数是偶函数,得,‎ 即对于任意实数都成立,‎ 所以. ……………… 2分 此时,则.‎ 由,解得. ……………… 3分 当x变化时,与的变化情况如下表所示: ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以在,上单调递减,在上单调递增. …………… 5分 ‎ 所以有极小值,有极大值. ……………… 6分 ‎ ‎ (Ⅱ)由,得.‎ ‎ 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线,有且只有两个公共点”. ……………… 8分 ‎ 对函数求导,得. ……………… 9分 ‎ 由,解得,. ……………… 10分 ‎ 当x变化时,与的变化情况如下表所示: ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 所以在,上单调递减,在上单调递增. …………… 11分 ‎ ‎ 又因为,,,,‎ ‎ 所以当或时,直线与曲线,有且只有两个公共点. ‎ ‎ 即当或时,函数在区间上有两个零点. …… 13分 ‎17、(Ⅰ)当时,,……………1分 ‎, ……………2分 ‎,切点,‎ 切线方程是.……………3分 ‎(Ⅱ),……………4分 令, ……………5分 ‎、及的变化情况如下 ‎0‎ 增 减 所以,在区间上单调递增,‎ 在区间上单调递减………7分 ‎(Ⅲ)法一:由(Ⅱ)可知的最大值为 ……8分 ‎(1)当时,在区间单调递增,在区间上单调递减 由,故在区间上只有一个零点 ……………10分 ‎ (2)当时,,,‎ ‎ 且 ……………12分 ‎ 因为 ,所以,在区间上无零点……13分 ‎ 综上,当时,在区间上只有一个零点 ‎ 当时,在区间上无零点 ‎ ‎(Ⅲ)法二:‎ ‎ 令,‎ ‎ 令 ……………8分 ‎ ‎ ‎ ……………10分 ‎0‎ 减 极小值1‎ 增 ‎ ……………11分 ‎ 由已知 所以,当时,在区间上只有一个零点……12分 ‎ 当时,在区间上无零点 ……………13分 ‎18、(1)解:函数定义域为,‎ 若函数在处切线与轴平行,则 ‎,即.‎ ‎(2)由(1)可知,‎ ‎①当时,令,,‎ 极大值 不满足题意;‎ 当时,令,或,‎ ‎②当时,即,‎ 极小值 极大值 不满足题意;‎ ‎③当时,‎ ‎1)当,即时,,函数无极值点;‎ ‎2)当,即时,‎ 极大值 极小值 满足题意;‎ ‎3)当,即时,‎ 极大值 极小值 不满足题意.‎ 综上所述,若在处取得极小值,.‎ ‎19、‎ ‎20、解:(Ⅰ)若,则,,,‎ 所以在点处的切线方程为. ……………… 3分 ‎(Ⅱ),.‎ 令,则.‎ 令,得.(依题意)‎ 由,得;由,得.‎ 所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增 所以,.‎ 因为,所以,.‎ 所以,即.‎ 所以函数的单调递增区间为. ……………… 8分 ‎(Ⅲ)由,,等价于,等价于.‎ ‎ 设,只须证成立.‎ ‎ 因为,,‎ ‎ 由,得有异号两根.‎ ‎ 令其正根为,则.‎ ‎ 在上,在上.‎ ‎ 则的最小值为 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 又,,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 则.‎ 因此,即.所以 ‎ 所以. ……………13分