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- 2021-06-19 发布
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北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练
导数及其应用
1、(昌平区2019届高三上学期期末)已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若,判断函数的零点个数,并说明理由.
2、(朝阳区2019届高三上学期期末)已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)当时,讨论的单调性;
(Ⅲ)若函数在区间上有且只有一个零点,求的取值范围.
3、(大兴区2019届高三上学期期末)已知函数.
(Ⅰ)若x轴为曲线的切线,求a的值;
(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.
4、(东城区2019届高三上学期期末)已知函数,a∈R.
(Ⅰ) 当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ) 求的单调区间.
5、(房山区2019届高三上学期期末)已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.
6、(丰台区2019届高三上学期期末)已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当时,.
7、(海淀2019届高三上学期期末)已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证: 当时,.
8、(石景山区2019届高三上学期期末)已知函数.
(Ⅰ)当时,求在处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若有极小值,求实数的取值范围.
9、(通州区2019届高三上学期期末)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若是上的单调递增函数,求的取值范围;
(Ⅲ)若函数对任意的实数,存在唯一的实数(),使得成立,求的值.
10、(朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模))已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值
范围.
11、(东城区2019届高三5月综合练习(二模))已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:.
12、(丰台区2019届高三5月综合练习(二模))已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在区间上的最小值;
(Ⅱ)当时,求证:过点恰有2条直线与曲线相切.
13、(海淀区2019届高三5月期末考试(二模)) 已知函数 .
(I)求曲线在点 处的切线的倾斜角;
(Ⅱ)若函数的极大值大于1,求口的取值范围.
14、(门头沟区2019届高三一模)已知在点处的切线与直线平行。
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设.
()若函数在上恒成立,求的最大值;
()当时,判断函数有几个零点,并给出证明.
15、(顺义区2019届高三第二次统练(一模))设函数.
(I)若点在曲线上,求在该点处曲线的切线方程;
(II)若恒成立,求的取值范围.
16、(西城区2019届高三一模)设函数,其中.
(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.
17、(延庆区2019届高三一模)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,求函数在上区间零点的个数.
18、设函数,
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求;
(2)若在处取得极小值,求的取值范围.
19、已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
20、(朝阳区2018届高三3月综合练习(一模))已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若,求证:.
参考答案:
1、解:函数的定义域为.
.
(I)若,,且,
所以曲线在点处的切线方程为,即.……5分
(Ⅱ)令,得,(舍).
变化情况如下表:
↘
极小值
↗
.
①当,即时,无零点.
②当,即时,只有一个零点.
③当,即时,
因为,,且在上单调递减,
所以在上存在唯一零点;
在上,,.
因为,所以,即.
又,且在上单调递增,
所以在上存在唯一零点;
所以当时,有两个零点.
综上:时,无零点;
时,只有一个零点;
时,有两个零点. ……13分
2、解:(Ⅰ)当时:,令解得,
又因为当,,函数为减函数;
当,,函数为增函数.
所以,的极小值为. ……………3分
(Ⅱ). 当时,由,得或.
(ⅰ)若,则.故在上单调递增;
(ⅱ)若,则.故当时,;
当时,.
所以在,单调递增,在单调递减.
(ⅲ)若,则.故当时,;
当时,.
所以在,单调递增,在单调递减.
…………………8分
(Ⅲ)(1)当时,,令,得.
因为当时,,当时,,
所以此时在区间上有且只有一个零点.
(2)当时:
(ⅰ)当时,由(Ⅱ)可知在上单调递增,且,,此时在区间上有且只有一个零点.
(ⅱ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合,又,
只需讨论的符号:
当时,,在区间上有且只有一个零点;
当时,,函数在区间上无零点.
(ⅲ)当时,由(Ⅱ)的单调性结合,,,此时在区间上有且只有一个零点.
综上所述,. …………………13分
3、解:(Ⅰ)由于x轴为的切线,设切点坐标为, ……1分
则,……① ……2分
又,即, ……② ……3分
②代入①,解得,
所以. ……4分
(Ⅱ),
(1)当时,,在单调递增, ……1分
所以时,取得最小值.
时,取得最大值. ……3分
(2)当时,,在单调递减, ……4分
所以,时,取得最小值.
时,取得最大值.
(3)当时,令,解得, ……5分
,,在区间的变化情况如下:
0
单调递减↗
极小值
单调递增↘
由上表可知,当时,取得最小值;……7分
由于,,
当时,在处取得最大值, ……8分
当时,在处取得最大值. ……9分
4、解:(Ⅰ)的定义域为,
.
当时,,,
所以曲线在点处的切线方程为.………………………..7分
(Ⅱ) .
(1) 当时,,
所以当时,;当时,.
所以的单调递增区间为(–∞,–1),单调递减区间为(–1,+∞).
(2) 当时,令,得,.
①当,即时,,
所以的单调递增区间为(–∞,+∞),无单调递减区间;
②当,即时,
当时,;当时,.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,;
③当,即时,
当时,;当时,.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,. …………………………………………………………………………………………13分
5、
6、解:(Ⅰ)因为.
所以,,
所以曲线在点处的切线方程.
整理得: ………………5分
(Ⅱ)先证.
因为,,
所以.
所以函数在上单调递增,
所以,
即.① ………………8分
再证.
设,
则,
设,
则,由①可知,
所以在上单调递减, .
所以时,.
所以在上单调递减,.
即.②
综合①②可知:当时,. ………………13分
7、解:(Ⅰ)因为
所以
当时,
所以,而
曲线在处的切线方程为
(Ⅱ)法一:
因为,令
得
显然当时,
所以,,在区间上的变化情况如下表:
0
极小值
所以在区间上单调递减,在单调递增,
所以在上的最小值为,所以只需证明
因为,所以
设,其中
所以
当时,,所以在区间单调递增,
因为 ,所以,问题得证
法二:
因为,所以当时,
设,其中
所以
所以,,的变化情况如下表:
0
极小值
所以在区间上单调递减,在上单调递增,
所以函数在时取得最小值,而
所以时
所以,问题得证
法三:
因为“对任意的,”等价于“对任意的,”
即“,”,故只需证“时,”
设,其中
所以
设,,
令,得
所以,,的变化情况如下表:
0
极小值
所以在处取得极小值,而
所以
所以时,,所以在上单调递增,得
而,所以 问题得证
8、解:(Ⅰ)当时,,.
,
所以在处的切线方程为.
(Ⅱ)有极小值函数有左负右正的变号零点.
令,则
令,解得.
的变化情况如下表:
–
0
+
减
极小值
增
① 若,即,则,所以不存在变号零点,不合题意.
② 若,即时,,.
所以,使得;
且当时,,当时,.
所以当时,的变化情况如下表:
–
0
+
减
极小值
增
所以.
9、解:(Ⅰ)当时,,
所以,,.
所以曲线在处的切线方程为. …………………………………3分
(Ⅱ)因为在上为单调递增函数,
所以恒成立,即的最小值.
令,则.
在,,单调递减;在,,单调递增.
所以.
所以,即.
所以若是上的单调递增函数,则的取值范围是.……………………7分
(Ⅲ)当时,,
因为,,
所以在单调递减,且;
当时,,
由(Ⅱ)知在递增,且.
若对任意的实数,存在唯一的实数(),使得成立,则
(ⅰ)当时,.所以,即;
(ⅱ)当时,.所以,即.
综合(ⅰ)(ⅱ)可得.……………………………………………………13分
10、解:(Ⅰ)当时,,
所以,.
又,
所以曲线在处的切线方程为.
………….4分
(Ⅱ)函数的定义域为. ,
(1) 当即时,
因为时,,
所以的单调增区间为.
(2) 当,即时,令,得.
当时,;
当时,;
所以的单调增区间为,减区间为.
综上,当时,的单调增区间为;
当时,的单调增区间为,减区间为.
………….9分
(Ⅲ)因为,
所以.
令,.
若函数在区间内有且只有一个极值点,
则函数在区间内存在零点.
又,
所以在内有唯一零点.
且时,
时,
则在内为减函数,在内为增函数.
又因为且在内存在零点,
所以
解得.
显然在内有唯一零点,记为.
当时,,时,,所以在点两侧异号,即在点两侧异号,为函数在区间内唯一极值点.
当时,
又在内成立,
所以在内单调递增,故无极值点.
当时,易得时,故无极值点.
所以当且仅当时,函数在区间内有且只有一个极值点. …….14分
11、解:(Ⅰ)定义域为,.
. .
所以曲线在处的切线方程为.
即.…………….5分
(Ⅱ)记.
.
由解得.
与在区间上的情况如下:
↘
极小
↗
所以在时取得最小值.
所以.所以.
所以在上单调递增.
又由知,
当时,,,所以;
当时,,,所以.
所以. ………………………………13分
12、解:(Ⅰ)当时, ,
. …………………2分
当时,,
所以在区间上单调递减. …………………4分
所以在区间上的最小值为. …………………5分
(Ⅱ)设过点的曲线的切线切点为,
,,
所以
所以.
令,
则
,
令得或,
因为,所以.
1
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
的极大值为,
的极小值为,
所以在上有且只有一个零点.
因为,
所以在上有且只有一个零点.
所以在上有且只有两个零点.
即方程有且只有两个不相等实根,
所以过点恰有2条直线与曲线相切. …………………13分
13、解:(Ⅰ)因为,
所以
所以,
所以切线的倾斜角为
(Ⅱ)因为
当时,令,得
当变化时,的变化情况如下表:
极小值
由上表函数只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去
当时,令,得
当时,
当变化时,的变化情况如下表:
极小值
极大值
由上表函数的极大值,满足题意
当时,,
所以函数单调递增,没有极大值,舍去
当时,当变化时,的变化情况如下表:
极大值
极小值
由上表函数的极大值,
解得
当时,当变化时,的变化情况如下表:
极大值
极小值
由上表函数的极大值,不合题意
综上,的取值范围是
14、解:(Ⅰ)由题意得:
(Ⅱ)()
当时,若,递增,则
当时,若,在递减,则不恒成立,所以,的最大值为1.
(),显然有一个零点0;
设
当时,无零点;所以只有一个零点0
当时,有,所以在上单增,
又,由零点存在定理可知,
所以在上有唯一一个零点,所以有二个零点
综上所述,时,只有一个零点0,时,有二个零点.
15、解:(I)因为点在曲线上,
所以,. ---------------------------------------1分
又, ---------------------------------------3分
所以. ---------------------------------------4分
在该点处曲线的切线方程为即 ---------------------------------------5分
(II)定义域为,-------------------------------6分
讨论:(1)当时,
此时在上单调递减,又,不满足-------------8分
(2)当时,令可得
列表可得
0
单调递减
单调递增
所以在上单调递减,在上单调递增----------------------10分
所以=,所以令解得
所以的取值范围为. ---------------------------------------13分
或法二:定义域为,恒成立即恒成立,又
所以恒成立。令,
则,由,
所以在单调递增,在上单调递减,
所以
16、解:(Ⅰ)由函数是偶函数,得,
即对于任意实数都成立,
所以. ……………… 2分
此时,则.
由,解得. ……………… 3分
当x变化时,与的变化情况如下表所示:
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在,上单调递减,在上单调递增. …………… 5分
所以有极小值,有极大值. ……………… 6分
(Ⅱ)由,得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线,有且只有两个公共点”. ……………… 8分
对函数求导,得. ……………… 9分
由,解得,. ……………… 10分
当x变化时,与的变化情况如下表所示:
0
0
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在,上单调递减,在上单调递增. …………… 11分
又因为,,,,
所以当或时,直线与曲线,有且只有两个公共点.
即当或时,函数在区间上有两个零点. …… 13分
17、(Ⅰ)当时,,……………1分
, ……………2分
,切点,
切线方程是.……………3分
(Ⅱ),……………4分
令, ……………5分
、及的变化情况如下
0
增
减
所以,在区间上单调递增,
在区间上单调递减………7分
(Ⅲ)法一:由(Ⅱ)可知的最大值为 ……8分
(1)当时,在区间单调递增,在区间上单调递减
由,故在区间上只有一个零点 ……………10分
(2)当时,,,
且 ……………12分
因为 ,所以,在区间上无零点……13分
综上,当时,在区间上只有一个零点
当时,在区间上无零点
(Ⅲ)法二:
令,
令 ……………8分
……………10分
0
减
极小值1
增
……………11分
由已知
所以,当时,在区间上只有一个零点……12分
当时,在区间上无零点 ……………13分
18、(1)解:函数定义域为,
若函数在处切线与轴平行,则
,即.
(2)由(1)可知,
①当时,令,,
极大值
不满足题意;
当时,令,或,
②当时,即,
极小值
极大值
不满足题意;
③当时,
1)当,即时,,函数无极值点;
2)当,即时,
极大值
极小值
满足题意;
3)当,即时,
极大值
极小值
不满足题意.
综上所述,若在处取得极小值,.
19、
20、解:(Ⅰ)若,则,,,
所以在点处的切线方程为. ……………… 3分
(Ⅱ),.
令,则.
令,得.(依题意)
由,得;由,得.
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增
所以,.
因为,所以,.
所以,即.
所以函数的单调递增区间为. ……………… 8分
(Ⅲ)由,,等价于,等价于.
设,只须证成立.
因为,,
由,得有异号两根.
令其正根为,则.
在上,在上.
则的最小值为
.
又,,
所以.
则.
因此,即.所以
所以. ……………13分