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- 2021-06-19 发布
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专项强化练(二) 函数的概念与性质
A组
题型一 函数的基本概念
1．(2019·无锡单元检测)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：∵函数y＝的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3恒不为0.当m＝0时，mx2＋4mx＋3＝3满足题意；当m≠0时，Δ＝16m2－12m<0，解得01时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.
答案：log32
4．下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的序号是________．
①f(x)＝|x|；②f(x)＝x－|x|；
③f(x)＝x＋1；④f(x)＝－x.
解析：对于①，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于②，f(x)＝x－|x|＝当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x<0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；对于③，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1≠2f(x)．对于④，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)．
答案：①②④
[临门一脚]
1．定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体，
研究函数问题时务必“定义域优先”．
2．分段函数是指在定义域内的不同部分上，有不同的解析表达式的函数，它的单调性不仅要考虑各个部分的单调性，还要注意各段交界处的函数值的大小关系，所以分段函数是函数的一个重要考点，应引起我们的高度重视．
题型二 函数的单调性与最值
1．已知函数f(x)＝log5(x2－3x－4)，则该函数的单调递增区间为________．
解析：由题意知x2－3x－4>0，则x>4或x<－1，
令y＝x2－3x－4，则其图象的对称轴为x＝，
∴y＝x2－3x－4的单调递增区间为(4，＋∞)．
单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
2．(2019·姜堰中学模拟)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝若x＞1，则f(x)＝x＋1＞2，易知y＝2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，
若a＜1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；
若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，
只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.
综上可得a的取值范围是[1，2]．
答案：[1，2]
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意互异的实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，则使得不等式f(t2－3)＋f(2t)<0成立的实数t的取值范围为____________．
解析：因为对任意互异的实数x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0成立，所以函数f(x)在定义域R上单调递减，又f(x)为奇函数，故不等式f(t2－3)＋f(2t)<0可化为f(t2－3)－2t，即t2＋2t－3>0，解得t<－3或t>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[临门一脚]
1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”，此时要注意定义域的限制．
2．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．对于填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数．
3．函数的多个单调区间不能用“∪”相连．
4．复合函数的单调性在转化时，不能忽视定义域的限制．
题型三 函数的奇偶性与周期性
1．(2018·南京高三模拟)若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝则f(a＋1)的值为________．
解析：由f(x)是定义在R上的周期为3的函数，得f(0)＝f(3)，解得a＝0，则f(a＋1)＝f(1)＝2.
答案：2
2．(2019·镇江期初)已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，设a＝f，b＝－f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．
解析：由函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，知：f(－x)＝f(x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，∴f[－(x－1)]＝f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，可知函数的周期为4，则a＝f＝f，b＝－f＝f，c＝f＝f.由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，可知函数是区间[0，1]上的减函数，据此可得b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
3．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析：由题意知：a≠0，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，所以2a＋ab＝0，b＝－2.所以f(x)＝－2x2＋2a2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a2＝2.所以f(x)＝－2x2＋2.
答案：－2x2＋2
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：若x＜0，则－x＞0，∵当x＞0时，f(x)＝x2－4x，
∴当－x＞0时，f(－x)＝x2＋4x.
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
则f(x)＝－x2－4x，x＜0，
当x＞0时，不等式f(x)＞x等价为x2－4x＞x，
即x2－5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，
当x＜0时，不等式f(x)＞x等价为－x2－4x＞x，
即x2＋5x＜0，得－5＜x＜0，
当x＝0时，不等式f(x)＞x等价为0＞0不成立，
综上，不等式的解为x＞5或－5＜x＜0，
故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5，0)∪(5，＋∞)
[临门一脚]
1．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，但定义域是否对称还是必要条件．
2．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．
3．奇函数用f(0)＝0时要注意定义域是否有0，偶函数还可以用f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
B组
1．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由2x－4≥0，即2x≥22，得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
2．函数f(x)＝在[1，2]内的最大值和最小值分别是________．
解析：f(x)＝＝2－，故f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝，最小值为f(1)＝1.
答案： 1
3．(2019·南京三模)若函数f(x)＝则f(log23)＝________．
解析：因为00)，若存在x1，x2∈[0，1]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．
解析：对于函数f(x)，
当x∈时，f(x)∈；
当x∈时，f(x)∈，
从而当x∈[0，1]时，函数f(x)的值域为D1＝[0，1]．
对于函数g(x)，
因为0≤x≤1，0≤x≤，0≤sinx≤，
所以2－a≤asin－a＋2≤2－a，
从而当x∈[0，1]时，
函数g(x)的值域为D2＝(a>0)．
因为存在x1，x2∈[0，1]时，使f(x1)＝g(x2)，
所以D1∩D2≠∅.
若D1∩D2＝∅，则2－a<0或2－a>1，
解之得04，
所以当D1∩D2≠∅时，1≤a≤4，
即实数a的取值范围是[1，4]．
答案：[1，4]
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