2020高中数学奇偶性的概念 6页

第1课时　奇偶性的概念 学习目标：1.理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.掌握判断函数奇偶性的方法．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x)‎ f(－x)＝－f(x)‎ 图象特点 关于y轴对称 关于x轴对称 思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？‎ ‎[提示]　定义域关于原点对称．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　)‎ ‎(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　)‎ ‎(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)‎ ‎(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) ‎ A　　　　　B　　　　C　　　　　D B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]‎ ‎3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　　 B．0‎ C．1 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]‎ ‎4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________. ‎ ‎3　[∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 函数奇偶性的判断 - 6 -‎ ‎　判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝x3＋x；‎ ‎(2)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(4)f(x)＝ ‎[解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．‎ 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，‎ 因此函数f(x)是奇函数．‎ ‎(2)由得x2＝1，即x＝±1.‎ 因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．‎ 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，‎ 不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．‎ ‎(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．‎ f(－x)＝ 即f(－x)＝ 于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．‎ ‎[规律方法]　判断函数奇偶性的两种方法 ‎(1)定义法：‎ ‎(2)图象法：‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)‎ ‎①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；‎ ‎④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]. ‎ ‎②③　[对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；‎ - 6 -‎ 对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；‎ 对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；‎ 对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；‎ 对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]‎ 奇偶函数的图象问题 ‎　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图136所示．‎ 图136‎ ‎(1)画出在区间[－5,0]上的图象；‎ ‎(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．‎ ‎[解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．‎ 由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．‎ ‎(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．‎ ‎[规律方法]　‎ 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.‎ (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．如图137是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据. ‎ 图137‎ - 6 -‎ ‎[解]　因为f(x)＝所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．‎ 利用函数的奇偶性求值或求参数 ‎[探究问题]‎ ‎1．若函数y＝f(x)是奇函数，且点(a，f(a))是y＝f(x)图象上一点，点(－a，－f(a))是否在函数图象上？‎ 提示：在．∵f(x)为奇函数，故－f(a)＝f(－a)，故点(－a，－f(a))一点在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎2．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？‎ 提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ 由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．‎ ‎　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　)‎ A. B． C．1 D．无法确定 ‎(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.‎ 思路探究：(1)―→―→―→ ‎(2)―→―→―→ ‎(1)B　(2)7　　[(1)由题意可知2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，‎ 所以2ax2＋‎2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0，‎ ‎∴f＝＋2×＝＋1＝.‎ ‎(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，‎ - 6 -‎ ‎∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.‎ 又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]‎ 母题探究：1.本例(1)的条件改为“f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数”，求f的值．‎ ‎[解]　由题意可知∴a＝，b＝0，‎ ‎∴f(x)＝x2＋1，∴f＝＋1＝.‎ ‎2．把本例(2)的条件“f(－3)＝－‎3”‎换为“f(d)＝‎10”‎，求f(－d)的值．‎ ‎[解]　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数，∴f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8.‎ 所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.‎ ‎[规律方法]　利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.‎ (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．函数f(x)＝|x|＋1是(　　) ‎ ‎【导学号：37102157】‎ A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 B　[∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，‎ ‎∴f(x)为偶函数．]‎ ‎2．如图138，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)‎ 图138‎ A．－2 B．2‎ C．1 D．0‎ A　[由图知f(1)＝，f(2)＝，又f(x)为奇函数，‎ 所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.]‎ ‎3．下列说法中错误的个数为(　　)‎ ‎①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；‎ ‎②图象关于y轴对称的函数是偶函数；‎ - 6 -‎ ‎③奇函数的图象一定过坐标原点；‎ ‎④偶函数的图象一定与y轴相交. ‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ C　[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．故选C.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.‎ ‎0　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.]‎ ‎5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图139所示．‎ 图139‎ ‎(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象．‎ ‎(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．‎ ‎(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. ‎ ‎ [解]　(1)由题意作出函数图象如图：‎ ‎(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．‎ ‎(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．‎ - 6 -‎