2016年高考数学（理科）真题分类汇编C单元　三角函数 14页

‎ 数 学 C单元　三角函数 ‎ C1 角的概念及任意角的三角函数 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ‎5．C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎5．A　[解析] cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.‎ ‎16．C2，C7，C8[2016·山东卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)＝＋.‎ ‎(1)证明：a＋b＝2c；‎ ‎(2)求cos C的最小值．‎ ‎16．解：(1)证明：由题意知2（＋）＝＋，‎ 化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，‎ 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 从而sin A＋sin B＝2sin C.‎ 由正弦定理得a＋b＝2c.‎ ‎(2)由(1)知c＝，‎ 所以cos C＝＝ ‎＝（＋）－≥，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 故cos C的最小值为.‎ C3 三角函数的图象与性质 ‎5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)‎ A.－>0 ‎ B．sin x－sin y>0‎ C.x－y<0 ‎ D．ln x＋ln y>0‎ ‎5．C　[解析] 选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以x0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图像上，则(　　)‎ A．t＝，s的最小值为 ‎ B．t＝，s的最小值为 C．t＝，s的最小值为 ‎ D．t＝，s的最小值为 ‎7．A　[解析] 因为P（，t）在函数y＝sin（2x－）的图像上，所以t＝sin（2×－）＝sin＝.因为s>0，y＝sin（2x－）＝sin 2（x－），所以函数y＝sin（2x－）的图像至少向左平移 eq f(π,6)个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图像，所以s的最小值为.‎ ‎12．C4[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|≤），x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在，单调，则ω的最大值为(　　)‎ A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ ‎12．B　[解析] 由已知可得－ω＋φ＝kπ，k∈Z，ω＋φ＝mπ＋，m∈Z，两式相加，得2φ＝(k＋m)π＋.因为|φ|≤，所以k＋m＝0或k＋m＝－1，即φ＝±，两式相减得ω＝2(m－k)＋1，即ω为正奇数．‎ 因为函数f(x)在区间（，）单调，所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可，且－≤×，即ω≤12.‎ ‎(1)当φ＝时，f(x)＝sin（ωx＋），则kπ－≤ω＋且ω＋≤kπ＋，k∈Z，‎ 解得≤ω≤.由于ω≤12，故k最大取1，此时4.5≤ω≤9，此时ω的最大值为9.‎ ‎(2)当φ＝－时，f(x)＝sin（ωx－），则kπ－≤ω－且ω－≤kπ＋，k∈Z，‎ 解得≤ω≤.由于ω≤12，故k最大取0，此时ω≤，此时ω的最大值为5.‎ 综上可知，ω的最大值为9.‎ ‎14．C4[2016·全国卷Ⅲ] 函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝sin x＋cos x的图像至少向右平移________个单位长度得到．‎ ‎14.　[解析] 函数y＝sin x－cos x＝2sin（x－）的图像可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin（x＋）的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎10．C4[2016·浙江卷] 已知2cos2x＋sin 2x＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．‎ ‎10.　1　[解析] 2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin(2x＋)＋1，故A＝，b＝1.‎ ‎12．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则·的取值范围是________．‎ ‎12．[0，1＋]　[解析] 由题意得y＝表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P ‎(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则＝(1，1)，＝(cos α，sin α＋1)，所以·＝cos α＋sin α＋1＝sin(α＋)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤·≤1＋.‎ ‎13．C4[2016·上海卷] 设a，b∈R，c∈[0，2π)．若对任意实数x都有2sin(3x－)＝asin(bx＋c)，则满足条件的有序实数组(a，b，c)的组数为________．‎ ‎13．4　[解析] 根据题意a＝±2，b＝±3.若a＝2，则当b＝3时，c＝，当b＝－3时，c＝；若a＝－2，则当b＝3时，c＝，当b＝－3时，c＝.所以满足条件的有序实数组(a，b，c)的组数为4.‎ C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎15．C5，C8[2016·北京卷] 在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.‎ ‎(1)求∠B的大小；‎ ‎(2)求cos A＋cos C的最大值．‎ ‎15．解：(1)由余弦定理及题设得 cos B＝＝＝.‎ 又因为0<∠B<π，所以∠B＝.‎ ‎(2)由(1)知∠A＋∠C＝.‎ cos A＋cos C＝cos A＋cos－A ‎＝cos A－cos A＋sin A ‎＝cos A＋sin A ‎＝cosA－.‎ 因为0<∠A<，‎ 所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.‎ ‎15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cosA－的值．‎ ‎15．解：(1)因为cos B＝，00，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋2≥8，‎ 当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号．‎ 方法二：同方法一可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，‎ 又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，‎ 所以tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，‎ 当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号．‎ ‎15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cosA－的值．‎ ‎15．解：(1)因为cos B＝，00)，‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，‎ 代入＋＝中，有 ＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理，得 cos A＝＝，‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B，‎ 故tan B＝＝4.‎ ‎15．C9[2016·天津卷] 已知函数f(x)＝4tan xsin（－x）cos（x－）－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．‎ ‎15．解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.‎ f(x)＝4tan xcos xcos（x－）－＝4sin xcos（x－）－＝4sin x（cos x＋sin x）－＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－），‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ}，k∈Z，易知A∩B＝[－，].‎ 所以当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－)上单调递减．‎ ‎6．[2016·大理一模] 函数f(x)＝sin 2x－sin的最小值为(　　)‎ A．0 B．－1 C．－ D. －2‎ ‎6．B　[解析] f(x)＝sin 2x－sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin，故所求最小值为－1.‎ ‎11．[2016·宿州一检] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图K161所示，为了得到函数y＝cos ωx的图像，只需把函数y＝f(x)的图像(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎11．D　[解析] 根据已知得×＝－＝，解得ω＝2，又f＝sin＝－1，所以φ＝2kπ＋－＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin ‎，只要把函数y＝f(x)的图像向左平移个单位长度，便可得到y＝sin＝sin＝cos 2x的图像．‎ ‎5．[2016·宜宾诊断] 已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A. B. C. D. 或 ‎5．D　[解析] 由sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，得2sin Bcos A＝6sin Acos A，所以cos A＝0或sin B＝3sin A.‎ 若cos A＝0，则A＝，在Rt△ABC中，C＝，所以b＝＝，此时△ABC的面积S＝bc＝××＝；若sin B＝3sin A，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2·a·3a·，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.‎ ‎15．[2016·贵阳模拟] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(A＋C)．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)求函数f(x)＝2cos 2x＋cos(2x－B)在区间上的最小值及对应x的值．‎ ‎15．解：(1)由已知得bcos A＝cos，‎ 即sin Bcos A＝－cos B，‎ 即sin＝－2sin Ccos B，‎ ‎∴sin C＝－2sin Ccos B，‎ ‎∴cos B＝－，即B＝.‎ ‎(2)f＝2cos 2x＋cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝‎ cos 2x＋sin 2x＝sin，‎ 由x∈知2x＋∈.‎ 当2x＋＝，即x＝时，f＝×＝－，‎ 所以函数f(x)在区间上的最小值为－，此时x＝.‎ ‎17．[2016·安庆二模] 如图K183所示，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC＝DC.‎ ‎(1)若∠DAC＝30°，求角B的大小；‎ ‎(2)若BD＝2DC，且AD＝2，求DC的长．‎ 图K184‎ ‎17．解：(1)在△ADC中，由＝，及AC＝DC，‎ 得sin∠ADC＝sin∠DAC＝.‎ 又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋60°>60°，‎ 所以∠ADC＝120°.‎ 于是C＝180°－120°－30°＝30°，所以B＝60°.‎ ‎(2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝x，AB＝x.‎ 于是sin B＝＝，所以cos B＝.‎ 在△ABD中， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，‎ 即(2)2＝6x2＋4x2－2×x·2x·＝2x2 ，得x＝2.‎ 故DC＝2.‎