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- 2021-06-19 发布
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课时作业55 圆的方程
一、选择题
1．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B.
C．(－∞，－3)∪
D．(－3，＋∞)
解析：圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.过点A(a，a)可作圆的两条切线，
所以
解之得a<－3或10，即a<2.
因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.
答案：A
5．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0的距离为d，则d的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0的距离为＝2，∴dmin＝2－1＝1.
答案：A
6．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C．x2＋2＝ D．x2＋2＝
解析：由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
答案：C
二、填空题
7．已知圆C的圆心与点M(1，－1)关于直线x－y＋1＝0对称，并且圆C与x－y＋1＝0相切，则圆C的方程为____________________．
解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，则圆心(－2,2)到直线x－y＋1＝0的距离为r，得r＝，故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝.
答案：(x＋2)2＋(y－2)2＝
8．圆C1的方程为(x－3)2＋y2＝，圆C2的方程为(x－3－cosθ)2＋(y－sinθ)2＝(θ∈R)，过C2上任意一点P作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大值为________．
解析：圆C2的圆心的轨迹方程是(x－3)2＋y2＝1，当∠MPN取最大值时，P点与圆C1的圆心之间的距离最小，此时dmin＝，r1＝，所以∠MPN的最大值为.
答案：
9．已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．
解析：因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝＝＝
eq f(
(2),2)(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.
答案：(3－2)π
三、解答题
10．已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC的中点．
(1)求AB边所在直线的方程．
(2)求以线段AM为直径的圆的方程．
解：(1)因为A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由两点式得AB的方程为＝，整理得y＝6x＋11.
(2)因为M是BC的中点，所以M，即M(1,1)，所以|AM|＝＝2，
所以圆的半径为.
所以AM的中点为，即中点为(0,3)，
所以以线段AM为直径的圆的方程为x2＋(y－3)2＝5.
11．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围．
解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y
＝4的距离，即r＝＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，则由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，
·＝x2＋y2，即x2－y2＝2.
·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)
＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，
由于点P在圆O内，故
由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)．
1．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k>0，所以k＝2.
答案：C
2．已知直线l：x＋y－6＝0和⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，点A在直线l上，若直线AC与⊙M至少有一个公共点C，且∠MAC＝30°，则点A的横坐标的取值范围是( )
A．(0,5) B．[1,5]
C．[1,3] D．(0,3]
解析：
如图所示，设点A的坐标为(x0,6－x0)，圆心M到直线AC的距离为d，则d＝|AM|sin30°.因为直线AC与⊙M有交点，所以d＝|AM|sin30°≤2⇒(x0－1)2＋(5－x0)2≤16⇒1≤x0≤5.
答案：B
3．(2014·湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则
(1)b＝________；
(2)λ＝________.
解析：因为对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，所以可取圆上点(－1,0)，(1,0)，满足
解得b＝－或b＝－2(舍去)，b＝－，λ＝，
故答案为(1)－，(2).
答案：(1)－ (2)
4．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标；
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
解：(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，
得解得或
若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB>0矛盾．
所以舍去．即＝(6,8)．
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，
即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，
其圆心为C(3，－1)，半径r＝，
∵＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，
∴直线OB的方程为y＝x.
设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，则解得
∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
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