2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）3：导数 22页

‎2 012高考试题分类汇编：3:导数 一、选择题 ‎1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是 ‎ 【答案】C ‎【解析】由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时,选C.‎ ‎2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数 A. 若ea+‎2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+‎2a=eb+3b，则a＜b C. 若ea‎-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea‎-2a=eb-3b，则a＜b ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．‎ ‎3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx 则 （ ）‎ A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点 C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 ‎9.【答案】D.‎ ‎【解析】，令，则，当时 ‎，当时，所以为极小值点，故选D.‎ ‎4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为 ‎（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】故选B ‎【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。‎ ‎5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：‎ ‎ ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎12.【答案】C．‎ ‎【解析】，令则或，当时；当时；当时，‎ 所以时有极大值，当时有极小值，函数有三个零点，，且，又，，即，因此，.故选C.‎ ‎6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 ‎(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。‎ 二、填空题 ‎7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】函数的导数为，所以在的切线斜率为 ‎，所以切线方程为，即.‎ ‎8..【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】，∴‎ ‎∴围成的面积=+=。‎ 三、解答题 ‎9.【2102高考北京文18】（本小题共13分）‎ 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。‎ 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；‎ 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎10.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎ ‎11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）‎ 已知函数，x其中a>0.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；‎ ‎（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。‎ ‎【答案】‎ ‎12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）‎ 设，集合，，.‎ ‎（1）求集合（用区间表示）‎ ‎（2）求函数在内的极值点.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）令，‎ ‎。‎ ‎① 当时，，‎ 方程的两个根分别为，‎ ‎，‎ 所以的解集为。‎ 因为，所以。‎ ‎② 当时，，则恒成立，所以，‎ 综上所述，当时，；‎ 当时，。‎ ‎（2），‎ ‎ 令，得或。‎ ‎① 当时，由（1）知，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↗‎ 所以的极大值点为，没有极小值点。‎ ‎② 当时，由（1）知，‎ 所以随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的极大值点为，极小值点为。‎ 综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；‎ 当时，有一个极大值点，一个极小值点。‎ ‎13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）‎ 已知函数且在上的最大值为，‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)‎ 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎（Ⅰ）用和表示；‎ ‎（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较与 的大小，并说明理由。‎ 命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）‎ 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中国^教育出版&网~]‎ ‎（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；[z ‎（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x10时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值 ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为 ‎（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值． ‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ，化简得解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，‎ 令 ，得当时，故在上为增函数；‎ 当 时， 故在 上为减函数 当 时 ，故在 上为增函数。‎ 由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为 ‎18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）‎ 设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.‎ ‎（1）求a,b的值；‎ ‎（2）求函数f(x)的最大值 ‎（3）证明：f(x)< .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.‎ 考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.‎ ‎19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）‎ 设定义在（0，+）上的函数 ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。‎ ‎【解析】（I）（方法一），‎ 当且仅当时，的最小值为。‎ ‎（II）由题意得：， ①‎ ‎， ②‎ 由①②得：。‎ ‎20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）‎ 已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)‎ 设，证明：‎ ‎ (Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ）‎ ‎ (Ⅱ)当时，‎ ‎【答案】‎ ‎22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数 ‎（1）求f(x)的单调区间 ‎（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）由题意得，‎ 当时，恒成立，此时的单调递增区间为.‎ 当时，，此时函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由于，当时，.‎ 当时，.‎ 设，则.‎ 则有 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ 所以.‎ 当时，.‎ 故.‎ ‎23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。‎ ‎ ‎ ‎24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)‎ 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求k的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.‎ ‎ 【答案】(I)，‎ 由已知，，∴.‎ ‎(II)由(I)知，.‎ 设，则，即在上是减函数，‎ 由知，当时，从而，‎ 当时，从而.‎ 综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.‎ 当时，＞1，且，∴.‎ 设，，则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，取得最大值.‎ 所以.‎ 综上，对任意，.‎ ‎25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分） ‎ 设函数 ‎（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设n为偶数，，，求b+‎3c的最小值和最大值；‎ ‎（3）设，若对任意，有，求的取值范围；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。‎ ‎ ‎