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- 2021-06-19 发布
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江苏省盐城市射阳中学2019~2020学年度第一学期联合测试
高一数学试题
(考试时间120分钟,总分150分)
一、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分,请将答案填写在答卷的相应位置上.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出集合中的范围,然后逐一判断选项即可.
【详解】解:由已知,又
则,故A正确,D错误;
,故BC错误;
故选:A.
【点睛】本题考查集合的交集和并集的运算,是基础题.
2.已知,则角的终边在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用即可得结果.
【详解】由已知可得,
则,
故的终边在第二象限,故选B.
【点睛】本题主要考查弧度制的应用以及角的终边所在象限,属于基础题.
3.若,则实数的取值范围是( )
- 16 -
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将不等式的右边也变为以为底的对数形式,然后对讨论,利用对数的单调性解不等式即可.
【详解】解:由已知,
当时,不等式明显成立;
当时,,
综合得:实数的取值范围是,
故选:B.
【点睛】本题考查简单的对数不等式,注意要对对数的底是否大于1进行讨论,是基础题.
4.与向量平行的单位向量为( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一判断选项中的向量,看是否存在实数,使,且.
【详解】解:首先确定选项中的向量的模是否为1,经检验发现,选项中的向量的模均为1,
又,选项C符合,
故选:C.
【点睛】本题考查向量平行的判断,关键是能否找到实数,使,是基础题.
5.已知,且,则值为( )
- 16 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解:先根据所在象限,确定的符号,求出的值,进而求出的值.
【详解】解:,
,
,
,
故选:A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,注意要通过角所在象限确定三角函数值的正负,是基础题.
6.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分母不为零,被开方数不小于零,对数的真数大于零列不等式组,解出即可.
【详解】解:由已知得,解得:,
故选:D.
【点睛】本题考查求具体函数的定义域,一般根据以下几个方面列不等式:分母不为零,被开方数不小于零,对数的真数大于零.
- 16 -
7.已知函数的零点在区间上,则的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性,再根据零点存在性定理列不等式求解.
【详解】解:由已知和均为单调递增函数,
故在定义域内也为单调增函数,
因为,
所以函数的零点在区间上,
又函数的零点在区间上,
所以,
故选:A.
【点睛】本题考查零点存在性定理,关键是要通过尝试确定零点大致在哪个区间里面,是基础题.
8.已知奇函数在单调递减,且,则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,由函数的奇偶性可得,结合函数的单调性分析可将不等式化为,解可得答案.
【详解】解:根据题意,函数为奇函数,若,则,
又函数在单调递减,,
- 16 -
,
∴,
解得:,
故选:C.
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,涉及抽象函数的应用,关键是求出的值.
9.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
先对函数进行变形,然后根据函数图像的平移规律即可得到答案.
【详解】解:,
故只需将函数的图象向右平移个单位长度就可得到,
故选:D.
【点睛】本题考查的知识点函数的图象变换,其中熟练掌握函数图象的平移法则,“左加右减,上加下减”,是解答本题的关键.属于基础题.
10.设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性分析得出结果.
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【详解】解:由已知,
又,,
因为,所以,即,
综合得:,
故选:A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较,关键是要将对数式变为同底的形式,才方便比较大小,是基础题.
11.函数,的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令,将函数转化为二次函数的值域问题求解即可.
【详解】解:令,
则原函数转化为,
当时,,
当时,,
值域是,
故选:D.
【点睛】本题考查指数型二次函数的值域问题,可以利用换元法,注意要确定新元的范围,是基础题.
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12.已知外接圆的半径为4,且,,则的值是( )
A. B. 16 C. 48 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运用平面向量的三角形法则,以及外心的特点,可得为的中点,三角形为直角三角形,再由勾股定理和向量的数量积定义,即可求出结果.
【详解】解:如图所示,
的外接圆的半径为4,且,
,
,
∴为的中点,
即;
又,
为等边三角形,且边长为4,,
由勾股定理得,,
则.
故选:C.
【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则和数量积的定义应用问题,也考查了三角形的外心概念与勾股定理的运用,是基础题.
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二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填写在答卷的相应位置上.
13.函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据最小正周期的公式求解即可.
【详解】解:函数的最小正周期为,
故答案为:
【点睛】本题考查三角函数的最小正周期公式,是基础题.
14.已知某幂函数的图象经过点,那么这个幂函数的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式,代入点的坐标,即可得出结果.
【详解】解:设幂函数为,
代入点,得,解得,
所以这个幂函数的解析式为,
故答案为:
【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式,是基础题.
15.函数的单调减区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域,在定域内判断
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的单调减区间,进而可得原函数的的单调减区间.
【详解】解:由已知函数定义域为,
所以在上的单调减区间为,
则函数的单调减区间为,
故答案为:.
【点睛】本题考查对数型符合函数的单调区间,注意要先求出函数的定义域,是基础题.
16.若关于的函数在内有且仅有一个零点,则实数的取值范围是______.
【答案】或
【解析】
【分析】
分讨论,另外时,通过解得实数的取值范围.
【详解】解:函数在区间仅有一个零点,
当时,,解得,
若,方程的根为,舍去;
当,方程的根为,符合题意;
当时,,解得或,
由题可得,
,解得,
又当时,,此时方程另一根为,舍去;
当时,,此时方程另一根为,符合题意,
综上所述:实数的取值范围是或,
- 16 -
故答案为:或.
【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理,要特别注意一些特殊情况的存在性,属于中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求下列各式的值:
(1)
(2)
【答案】(1)1;(2)-1
【解析】
【分析】
(1)由对数的运算性质来计算即可;
(2)利用同角三角函数基本关系,诱导公式进行变形计算即可.
【详解】解:(1);
(2)
【点睛】本题(1)考查对数的运算性质,(2)考查同角三角函数基本关系,诱导公式,注意符号的确定,是基础题.
18.已知向量,,当为何值时:
(1)?
(2)?
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(3)与的夹角是钝角?
【答案】(1)-1;(2)9;(3)
【解析】
【分析】
(1)利用向量共线定理即可得出;
(2)利用,即可得出.
(3)利用向量数量积小于0,不反向,求出即可.
【详解】解:(1),,
∵,
∴,
解得;
(2)∵,
∴,
解得;
(3)因为与的夹角是钝角,则向量的数量积小于0,不反向,
∴,解得,且,
.
【点睛】本题考查了向量共线定理、等基础知识,属于基础题.
19.销售甲、乙两种商品所得利润分别是(单位:万元),和(单位:万元),它们与投入资金(单位:万元)的关系有经验公式,.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品,其中对甲种商品投资(单位:万元).
(1)试建立总利润(单位:万元)关于的函数关系式;
(2)求出(1)中的最大值.
【答案】(1);(2)的最大值为万元
【解析】
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【分析】
(1)通过设出甲投资以及乙投资的数目,设立函数表达式,根据函数式直接写出定义域;
(2)对于(1)中的函数解析式,利用换元法转化成一个二次函数的形式,最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值,从而解决问题.
【详解】解:(1);
(2)令,则,
当时,的最大值为万元
答:关于的函数关系式为,的最大值为万元.
【点睛】本题考查函数模型的选择与应用,通过对实际问题的分析,构造数学模型从而解决问题.需要对知识熟练的掌握并应用,属于基础题.
20.函数()的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值
【答案】(1);(2).
【解析】
【详解】(1)由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2,
周期,
∴f(x)=2sin(2x-)+1
(2),f()=2
∴2sin(-)+1=2,得sin(-)=,=
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此处有视频,请去附件查看】
21.已知函数是上的奇函数,当时,.
(1)求的解析式;
(2)用定义证明:函数在为减函数.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)令则,将代入,可得函数在的解析式,又,综合可求得的解析式;
(2)设,为区间上的任意两个值,且,计算为正值,即可证明函数在为减函数.
【详解】(1)令则,
因为函数是上的奇函数,所以
因为函数是上的奇函数,所以所以
;
(2)设,为区间上的任意两个值,且
因为所以,,
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,
所以函数在为减函数.
【点睛】本题考查奇函数解析式的求法,注意不要漏掉,以及考查函数单调性的证明,考查学生计算能力,是基础题.
22.已知函数,其中且.
(1)若函数是奇函数,试证明:对任意的,恒有;
(2)若对于,函数在区间上的最大值是3,试求实数的值;
(3)设且,问:是否存在实数,使得对任意的,都有?如果存在,请求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在,
【解析】
【分析】
(1)由函数是奇函数,可得,代入计算即可证明;
(2),,对分类讨论,利用对数函数的单调性即可得出;
(3)假设存在实数,使得对任意的,都有,则等价于对任意的,的最小值大于的最大值.令,,可得其最大值.于是问题等价于,的最小值大于1,再利用复合函数的单调性即可得出.
【详解】(1)证明:因为是定义域内的奇函数,
所以对任意的,恒有
由,得
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对任意的,恒有
(2)
当时,
在区间是增函数,
所以
当时
在区间是减函数,无解
综上所述:
(3)所以
又因为,所以,又因为,所以
因为对任意的,都有
所以的最小值大于的最大值
递减,所以的最小值为
令,因,所以递增,
所以的最大值为
所以,解得.
综上所述:满足题设的实数的取值范围是
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、复合函数的单调性、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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