高考数学复习专题练习第1讲 直线方程和两直线的位置关系 7页

第九章 解析几何 第1讲 直线方程和两直线的位置关系 一、选择题 ‎1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析 由点到直线的距离公式得距离为＝.‎ 答案 C[来源:学.科.网]‎ ‎2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.‎ 答案　B ‎3．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)．‎ A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0‎ 解析　由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.‎ 答案　A ‎4．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)‎ A．(3,0) B．(－3,0)‎ C．(0，－3) D．(0,3)‎ 解析 ∵点P在y轴上，∴设P(0，y)，又∵kl1＝2，l1∥l2，∴kl2＝＝y－1＝2，∴y＝3，∴P(0,3)．‎ 答案 D ‎5．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　　)． ‎ ‎ A．4 B．‎6 ‎ C. D. 解析　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是 解得故m＋n＝.‎ 答案　C ‎6．若点A(3,5)关于直线l：y＝kx的对称点在x轴上，则k是(　　)‎ A. B．± C. D. 解析 由题设点A(3,5)关于直线l：y＝kx的对称点为B(x0,0)，依题意得 解得k＝.‎ 答案 D 二、填空题 ‎7．若点P是曲线y＝x2上的任意点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．‎ 解析 在曲线y＝x2上任取一点P(x0，y0)，则P到直线y＝x－2的距离为：＝ ‎＝＝，‎ 因此，当x0＝时其最小值为.‎ 答案 ‎8．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.‎ 解析　由两直线垂直的条件得‎2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.‎ 答案　 ‎9．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．‎ 解析　由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，‎ 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，‎ 由两平行线间的距离，得＝，‎ 解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.‎ 答案　±1‎ ‎10．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．‎ 解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.‎ 又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．‎ ‎∴k1＝k2，即＝1－a.‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.‎ 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．‎ ‎ (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎ (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．‎ 解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∴＝3.解得λ＝2或λ＝.‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由解得交点P(2,1)，‎ 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，‎ 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．‎ ‎∴dmax＝|PA|＝.‎ ‎13．已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.‎ ‎(1)求d的最小值；‎ ‎(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．‎ 解　(1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．‎ 过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.‎ ‎(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.‎ ‎14．如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图像上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，‎ 垂足分别为M，N.[来 ‎(1)证明：|PM|·|PN|为定值；‎ ‎(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．‎ 解 (1)证明：设P(x0＞0)．‎ 则|PN|＝x0，|PM|＝＝，‎ 因此|PM|·|PN|＝1.‎ ‎(2)直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋.‎ 解方程组得x＝y＝x0＋，‎ S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM ‎＝|PN||ON|＋|PM||OM|‎ ‎＝x0＋ ‎＝＋≥1＋，‎ 当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，‎ 因此四边形OMPN的最小值为1＋.‎