重庆市康德卷2020届高三模拟调研卷文科数学（二） Word版含解析 19页

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷文科数学（二）‎ 本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据先求出，再用集合交集的定义列举出集合的全部元素组成集合，即可得答案.‎ ‎【详解】，‎ 且，‎ 因此.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题.‎ ‎2.已知复数，，则的虚部为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算分别求得再求的虚部即可.‎ ‎【详解】,.‎ 故.故虚部为.‎ 故选：A - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的辨析,属于基础题型.‎ ‎3.甲、乙两名农业技术人员，分别到三个乡村进行“帮扶脱贫”，则这两名技术人员到同一乡村的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出基本事件总数及所求事件所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得解.‎ ‎【详解】两名农业技术人员分别到三个乡村的基本事件有个，‎ 两名技术人员到同一乡村所包含的基本事件有3个，‎ 所以这两名技术人员到同一乡村的概率是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的值域，再求的范围即可.‎ ‎【详解】因为，所以，即函数的值域是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的值域的求法，指数函数的值域，属于基础题.‎ ‎5.已知，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 19 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质直接求解即可.‎ ‎【详解】对A,因为,,故成立.‎ 对B,因为成立故成立.‎ 对C,举反例如当,可知,故C错误.‎ 对D, 因为,故,故成立.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.‎ ‎6.己知命题，，，，则下列命题中真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断命题的真假再利用或且非的关系逐个选项判断即可.‎ ‎【详解】易得当时, ,故为假命题.当时, 成立.故为真命题.‎ 故为真命题.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型.‎ ‎7.已知称为高斯函数或取整函数．其中表示不超过x的最大整数，如,,．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ - 19 -‎ A. 1225 B. 1200 C. 1250 D. 1500‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，观察找到规律第4k次运行：， 则第次运行：，输出结果.‎ ‎【详解】第1次运行：;‎ 第2次运行：；‎ 第3次运行：；‎ 第4次运行：；‎ 第4k-1次运行：；‎ 第4k次运行：；‎ - 19 -‎ 第4k+1次运行：；‎ 第4k+2次运行：；‎ 第次运行：，结束循环输出1225.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，归纳总结规律是解题的关键，属于中档题.‎ ‎8.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是，，，，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为，则第10个梅森数的位数为（ ）（参考数据：）‎ A. 25 B. 29 C. 27 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算判断即可.‎ ‎【详解】因为.故.故第10个梅森数位数为27.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.‎ ‎9.若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 根据题意可知,再参变分离求实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】函数存在单调递减区间即有区间解,则,其中,‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数单调性的问题,同时也考查了参变分离求参数最值的问题,属于中等题型.‎ ‎10.若不等式组，所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分；则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域,再根据面积求解即可.‎ ‎【详解】画出可行域, ‎ 由图可知,将可行域划分为两块区域,‎ 其中三角形部分.‎ 故选：C - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题,属于中等题型.‎ ‎11.设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. -3 B. –2 C. -1 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，分类讨论数列的单调性从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ 若，则，且，即该数列单调递增，且，‎ 此时若存在常数，使得恒成立，则必有；‎ 若，则，则该数列为常数列，即；‎ 若，显然有。‎ 所以，综上所述，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了根据递推公式分析前后项的关系，进而求得数列的通项公式范围，属于中档题.‎ ‎12.设是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的渐近线上（异于坐标原点O），若且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，求出OP,及，在中利用余弦定理求出，由列出关于a,c的齐次式即可求出离心率.‎ - 19 -‎ ‎【详解】由题意知，又，所以，，‎ 因为，所以，，‎ 在中余弦定理可知：，‎ 又因为，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线离心率的求法，涉及三角函数诱导公式，余弦定理，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方.重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求渝东南和渝东北地区贫困户占全市的比例,再利用分层抽样抽取的方法列式求解即可.‎ ‎【详解】由题, 渝东南和渝东北地区贫困户占全市的48%+32%=80%,故其它地区困户占全市的20%.‎ 故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是%=5.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题型.‎ ‎14.已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于_______‎ - 19 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正视图可知正三棱锥的高和底面边长，根据正三角形中心的性质及勾股定理可求得，可求得一个侧面三角形的面积，从而可得侧面积.‎ ‎【详解】由正视图可知，正三棱锥的图形如下图所示：‎ 则：平面，且，‎ 为正三角形 ‎ 该正三棱锥的侧面积为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥侧面积的求解问题，关键是能够通过三棱锥的正视图确定几何体的高和底面三角形边长，属于基础题.‎ ‎15.在等腰梯形ABCD中，，E为BC的中点，F为DE的中点，记，，若用表示，则________.‎ ‎【答案】‎ - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的线性运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,需要用到平行四边形法则与三角形法则.属于中等题型.‎ ‎16.若直线与曲线相切，则ab的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为,再求出切线方程表达式,进而得出,再求导分析单调性与最大值即可.‎ ‎【详解】设切点为,则切线为,‎ 所以,‎ 令,‎ 所以在,,‎ 则.‎ 故答案：‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了切线方程的应用,主要是导数的几何意义求解,同时也考查了根据导数求解函数的最值问题,属于中等题型.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知公比大于1的等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由列出关于q的方程，解出q，即可得到数列的通项公式；(2)列出及的表达式，利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得解.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎，化简得，解得或2，‎ 又，所以，则.‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ 两式相减，‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和，错位相减法求数列的和，属于中档题.‎ - 19 -‎ ‎18.某生产厂家为了调查某商品的日销售价格（单位：元）对当日销售量（单位：件）的影响，下面给出了5组销售价格与销售量的统计表格：‎ 销售价格（元）‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 销售量（件）‎ ‎90‎ ‎79‎ ‎71‎ ‎61‎ ‎49‎ 用日销售价格x作为解释变量，日销售量y作为预报变量．‎ ‎（1）根据这组数据，建立y与x回归方程；‎ ‎（2）如果每件产品的成本价格为9元，根据（1）中所求回归方程，求：当日销售价格x为何值时，日销售利润Q的预报值最大．‎ 附：对一组数据，其回归方程，其中 ‎【答案】（1）（2）15元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求出，代入求出，再由求出，即可得解；(2) ，利用二次函数的单调性即可求得最大值.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎ ‎ ‎，所以.‎ ‎（2），所以当时，.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查利用所给数据建立线性回归方程，数据预报和最值，考查数据处理能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，，点D在边BC上，且.‎ ‎（1）求证：D是线段BC的中点；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证明面，推出，由等腰三角形三线合一的性质即可得证；(2) 作，由求出DE，然后利用等体积法即可求出到平面的距离.‎ ‎【详解】解：（1）面ABC，所以，‎ 又因为，且，所以面，‎ 所以，又因为，所以D为BC的中点.‎ ‎（2）作，易知面，‎ - 19 -‎ 在中，‎ 由等体积法有：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，等体积法求点到面的距离，涉及等腰三角形的性质，属于基础题.‎ ‎20.已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线C上一点，，O为坐标原点，的面积为1.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交C于A，B两点，记，的面积分别为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由轴且P为抛物线C上一点求出点P的坐标，由的面积为1列出方程求出p的值，即可得解；(2)设直线的倾斜角为()，利用焦点弦的性质表示出AB，OD，QD，，由正弦函数的值域即可求出的范围.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，，因为且P为抛物线C上一点 - 19 -‎ 所以，则，‎ 所以抛物线方程为；‎ ‎（2）设直线的倾斜角为()，直线AB与OQ交于点D，‎ 则有，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，因为，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，焦点弦性质的应用，利用三角函数的性质来求范围简化了计算过程，属于中档题.‎ ‎21.已知函数（a为常数）的最大值为0.‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，（），且.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ ‎(1)求出导数，分与两种情况讨论函数的单调性与最大值，列出方程求解即可；(2)求出函数的一阶导数与二阶导数，由二阶导数的符号判断一阶导数的单调性，再由一阶导数的符号判断的单调性，因为，，可得函数有两个不同的零点，，即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）函数的定义域为：，‎ 当时，，则函数在上单调递增，无最大值；‎ 当时，令，即，解得，‎ 所以函数上单调递增，上单调递减，‎ ‎，易知函数与函数的图像相交于点，所以方程的解为；‎ ‎（2）‎ 当时，则在上单调递增，‎ 又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，‎ 所以函数有两个不同的零点，，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，利用函数图像的交点求方程的根，属于较难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ - 19 -‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)消去参数求解直线l的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C的直角坐标方程.‎ ‎(2)利用参数的几何意义,联立直线与圆C的方程,利用韦达定理求解即可.‎ ‎【详解】(1)由,两式相加可得,即.‎ 又,即 即. ‎ ‎(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,‎ 代入有,‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将写成分段函数，画出图像再求解即可.‎ ‎(2)利用柯西不等式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）,由图当,当 可知解集为 ‎（2）由（1）知：,‎ 由柯西不等式知：,‎ 所以 ‎（当且仅当,；,时分别取等）.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型.‎ - 19 -‎ ‎ ‎ - 19 -‎